Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法。通常可以在任何图中使用，包括有向图、带负权边的图。

使用条件&范围

算法概述(例题)

使用条件&范围

Floyd-Warshall 算法用来找出每对点之间的最短距离。它需要用邻接矩阵来储存边，这个算法通过考虑最佳子路径来得到最佳路径。

算法概述

单独一条边的路径也不一定是最佳路径。 从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，或者无穷大，如果两点之间没有边相连。 对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。 不可思议的是，只要按排适当，就能得到结果。// dist(i,j) 为从节点i到节点j的最短距离

For i←1to n do

For j←1to n do

dist(i,j) = weight(i,j)

For k←1to n do// k为“媒介节点” {一定要先枚举媒介节点}

For i←1to n do

For j←1to n do

if(dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j))then// 是否是更短的路径？

dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)

这个算法的效率是O(V)。它需要邻接矩阵来储存图。

这个算法很容易实现，只要几行。

即使问题是求单源最短路径，还是推荐使用这个算法，如果时间和空间允许(只要有放的下邻接矩阵的空间，时间上就没问题)。

计算每一对顶点间的最短路径（floyd算法）

例题

设计公共汽车线路(1)

现有一张城市地图，图中的顶点为城市，有向边代表两个城市间的连通关系，边上的权即为距离。现在的问题是，为每一对可达的城市间设计一条公共汽车线路，要求线路的长度在所有可能的方案里是最短的。

输入：

市数，1≤n≤20)

e (有向边数1≤e≤210)

以下e行，每行为边（i,j）和该边的距离wij（1≤i,j≤n）

输出：

k行，每行为一条公共汽车线路

分析：本题给出了一个带权有向图，要求计算每一对顶点间的最短路径。这个问题虽然不是图的连通性问题，但是也可以借鉴计算传递闭包的思想：在枚举途径某中间顶点k的任两个顶点对i和j时，将顶点i和顶点j中间加入顶点k后是否连通的判断，改为顶点i途径顶点k至顶点j的路径是否为顶点i至顶点j的最短路径（1≤i，j，k≤n）。 显然三重循环即可计算出任一对顶点间的最短路径。设 n—有向图的结点个数；path—最短路径集合。其中path[i，j]为vi至vj的最短路上vj的前趋结点序号(1≤i，j≤n)；adj—最短路径矩阵。初始时为有向图的相邻矩阵

我们用类似传递闭包的计算方法反复对adj矩阵进行运算，最后使得adj成为存储每一对顶点间的最短路径的矩阵

Var adj：array[1‥n，1‥n] of real；

path：array[1‥n，1‥n] of 0‥n；

计算每一对顶点间最短路径的方法如下：

首先枚举路径上的每一个中间顶点k（1≤k≤n）；然后枚举每一个顶点对（顶点i和顶点j，1≤i，j≤n）。如果i顶点和j顶点间有一条途径顶点k的路径，且该路径长度在目前i顶点和j顶点间的所有条途径中最短，则该方案记入adj[i，j]和path[i，j]

adj矩阵的每一个元素初始化为∞；

for i←1 to n do {初始时adj为有向图的相邻矩阵，path存储边信息}

for j←1 to n do

if wij<>0 then begin adj[i，j]←wij；path[i，j]←j；end{then}

else path[i，j]←0；

for k←1 to n do {枚举每一个中间顶点}

for i←1 to n do {枚举每一个顶点对}

for j←1 to n do

if adj[i，k]+adj[k，j]<adj[i，j]　{若vi经由vk 至vj的路径目前最优，则记下}

then begin

adj[i，j]←adj[i，k]+adj[k，j]；

path[i，j]←path[k，j]；

end，{then}

计算每一对顶点间最短路径时间复杂度为W(n3)。算法结束时，由矩阵path可推知任一结点对i、j之间的最短路径方案是什么

Procedure print(i，j)；

begin

if i=j then 输出i

else if if path[i，j]=0

then 输出结点i与结点j之间不存在通路

else begin

print (i，path[i，j])； {递归i顶点至j顶点的前趋顶点间的最短路径}

输出j；

end；{else}

end；{print}

由此得出主程序

距离矩阵w初始化为0；

输入城市地图信息（顶点数、边数和距离矩阵w）；

计算每一对顶点间最短路径的矩阵path；

for i←1 to n do {枚举每一个顶点对}

for j←1 to n do if path[i，j]<>0 {若顶点i可达顶点j，则输出最短路径方案}

then begin print（i，j）；writeln；end；{then}