非线性方程数值解法

nonlinear equation，numerical method of

当f（x）是超越函数或高次多项式时，f（x）=0称为非线性方程，此类方程除少数情形外，只能求近似解。求解非线性方程的主要方法是迭代法。使用这一方法一般至少要知道根的一个近似值x0，然后将原方程f（x）=0改变成与它同解但便于迭代的形式x=j（x），利用迭代公式xk+1=j（xk），k=0，1，2，……就能求出一系列逐步精确的近似值。例如常用的迭代法有：①牛顿迭代公式：

k=0，1，2，……式中x0为初始近似值。②割线迭代公式：

k=0，1，2，……式中x0，x1为两个初始近似值。

此外还有二次插值法、切比雪夫迭代法及艾特肯加速法等。评价一个迭代公式的优劣，除去收敛条件之外，主要是看它的效能指标，即达到规定的精确度所花费的代价。因此如何构造收敛的迭代公式，分析公式的收敛速度和收敛条件，以及加快收敛的技术，这些都是迭代法研究的课题。牛顿迭代具有较高的收敛速度和简单灵活等优点，而且可以推广到求解非线性方程组，拟牛顿法就是具有较高效能指标的求解非线性方程组的通行方法。

非线性方程以高精度算术为支持，可以差商型导数为指导，可计通用求解方法。

二次插值法也是高效的逼近方法，可以将非单调区间割分成单调区间，再高速逼近，其收敛速度明显高于牛顿法。