定义

说明

定义

deg(f)=1的函数称为仿射函数,常数项为零的仿射函数称为线性函数,n元仿射(线性)函数的集合记为na(nl).:car+(非负实数)为弧上的权函数,弧(i,j)a上的权c(i,j)称为容量,记为cij。

说明

仿射函数即由由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。

设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为f(x1,x2,…,xn)=A1x1+A2x2+…+Anxn+b，其中Ai可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。

其中的特例是，标性（值）函数f(x)=ax+b，其中a、x、b都是标量。此时严格讲，只有b=0时，仿射函数才可以叫“线性函数”（“正比例”关系）。

就一般情形，函数f是仿射函数的充要条件是：对于任意两组向量x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn，对于任意0<=p<=1，如果f[px1+(1-p)y1,px2+(1-p)y2,…,pxn+(1-p)yn]==pf(x1,x2,…,xn)+(1-p)f(y1,y2,…,yn)。（“==”表示恒等）

一般称线性组合“p1x1+p2x2+…+pnxn，其中p1+p2+…+pn=1”为仿射组合；一般称所有pi>=0的仿射组合为凸组合。

其实一般意义上的仿射函数是一个矩阵函数,如果构成一个类似LMI的不等式,可以成为仿射矩阵不等式.