| 词条 | 泛函分析 |
| 释义 | 1 数学下属学科泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 ◎ 泛函分析研究的什么？学习泛函，首先要问泛函研究的是什么？可以用下图来解释： 1.映射指的是算子和泛函。 2.空间: X是定义在某数域上的“一些对象”的集合，若X是线性空间，在X上赋上距离，则就是赋距离线性空间；在 X上赋上范数，则就是赋范数线性空间；在 X上赋上内积，就是内积空间（也是赋范数线性空间）。 控制方向的学生可参考教材：《应用泛函分析---自动控制的数学基础》 清华大学出版社 作者:韩崇昭（西安交通大学）此书可供研究生和博士生阅读。 ◎ 什么是泛函分析泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 ◎ 赋范线性空间◎ 概况从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。 泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。 ◎ 希尔伯特空间希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 ◎ 巴拿赫空间一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。 对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间） 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 ◎ 主要结果和定理泛函分析的主要定理包括： 1. 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。 2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 4. 开映射定理和闭图像定理。 ◎ 泛函分析与选择公理泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn's Leema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布伦素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。 ◎ 泛函分析的研究现状泛函分析目前包括以下分支： 1. 软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。 2. 巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。 3. 非交换几何，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。 4. 与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。 ◎ 泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。 这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。 这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。 研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。 ◎ 泛函分析的特点和内容泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。 2 2010年高等教育出版社出版书籍书 名: 泛函分析 作 者：孙炯，王万义，赫建文 出版社： 高等教育出版社 出版时间： 2010-3-1 ISBN: 9787040288896 开本： 16开 定价: 24.00元 ◎ 内容简介本书主要内容分为七章，前三章侧重于线性泛函分析中各种空间、极限等基本概念的引入和基本性质的讨论；第四、第五章主要介绍了有界线性算子及其组成的空间，讲述Banach空间中线性算子的基本性质，重点讲述了Hilbert空间的共轭空间，Hilbert空间中的共轭算子。最后两章是线性算子的谱理论。谱理论从结构上剖析了算子作用的本质特征，它的处理方式体现了数学结构在分析、代数和几何上的和谐统一。本书没有引进谱族的概念，从纯粹分析的角度介绍了线性算子谱的定义，讨论了有界线性算子特别是自共轭算子、紧算子谱的基本性质。 ◎ 图书目录绪论 第一章 距离空间 第二章 线性赋范空间 第三章 内积空间与Hilbert空间 第四章 有界线性算子 第五章 共轭空间和共轭算子 第六章 线性算子的谱理论 第七章 紧线性算子的谱分解 附录 3 美国拉克斯著书籍书 名: 泛函分析 作 者：拉克斯(PeterD.Lax) 出版社： 人民邮电出版社 出版时间： 2010年8月1日 ISBN: 9787115231741 开本： 16开 定价: 79.00元 内容简介 《泛函分析》是在Lax教授多年来为纽约大学柯朗数学研究所二年级研究生授课的讲义基础上整理而成的。书中除了泛函分析的基本内容外，还介绍了一些非常重要的深刻论题，比如自伴算子的谱分解和谱表示、紧算子理论、不变子空间和强连续单参数半群等。《泛函分析》还涉及了对于计算拓扑不变量十分重要的算子的指标、强有力的分析工具Lidskii迹公式、Fredholm行列式及其推广，以及源自于物理的散射理论及其他特殊论题。 《泛函分析》理论内容紧密联系具体应用，包含了大量习题和例题。书中还给出了一些历史注记。这部优美简洁的著作已被很多学校用作教材或主要参考书。 作者简介 作者：（美国）拉克斯（Peter D.Lax） 译者：侯成军 王利广 Peter D.Lax，当代最杰出的数学家之一，2005年阿贝尔奖和1987年沃尔夫奖得主，美国科学院院士，于1986年荣获美国国家科技奖章。Lax 1926年5月1日生于匈牙利，1941年随父母定居纽约，自1958年开始就一直在纽约大学从事教学与研究工作，曾担任柯朗数学研究所所长。他在纯数学与应用数学的诸多领域都有卓越的建树，影响深远。同时，他一生致力于数学教育，独立撰写或与他人合著教材20多部。 图书目录 第1章 线性空间 第2章 线性映射 2.1 线性映射生成的代数 2.2 线性映射的指标 第3章 Hahn－Banach定理 3.1 延拓定理 3.2 Hahn－Banach定理的几何形式 3.3 Hahn－Banach定理的延拓 第4章 Hahn－Banach定理的应用 4.1 正线性泛函的延拓 4.2 Banach极限 4.3 有限可加的不变集函数 第5章 赋范线性空间 5.1 范数 5.2 单位球的非紧性 5.3 等距 第6章 Hilbert空间 6.1 内积 6.2 闭凸集中的最佳逼近点 6.3 线性泛函 6.4 线性张 第7章 Hilbert空间结果的应用 7.1 Radon－Nikodym定理 7.2 Dirichlet问题 第8章 赋范线性空间的对偶 8.1 有界线性泛函 8.2 有界线性泛函的延拓 8.3 自反空间 8.4 集合的支撑函数 第9章 对偶性的应用 9.1 加权幂的完备性 9.2 Muntz逼近定理 9.3 Runge定理 9.4 函数论中的对偶变分问题 9.5 Green函数的存在性 第10章 弱收敛 10.1 弱收敛序列的一致有界性 10.2 弱序列紧性 10.3 弱收敛 第11章 弱收敛的应用 11.1 用连续函数逼近6函数 11.2 傅里叶级数的发散性 11.3 近似求积分 11.4 向量值函数的弱解析性和强解析性 11.5 偏微分方程解的存在性 11.6 具有正实部的解析函数的表示 第12章 弱拓扑和弱拓扑 第13章 局部凸空间拓扑和Krein－Milman定理 13.1 通过线性泛函分离点 13.2 Krein－Milman定理 13.3 Stone－Weierstrass定理 13.4 Choquet定理 第14章 凸集及其极值点的例子 14.1 正线性泛函 14.2 凸函数 14.3 完全单调函数 14.4 Caljatheodorly和Bochner定理 14.5 Krein的一个定理 14.6 正调和函数 14.7 Hamburger矩问题 14.8 G.Birkhoff猜测 14.9 De Finetti定理 14.10 保测映射 第15章 有界线性映射 15.1 有界性和连续性 15.2 强拓扑和弱拓扑 15.3 一致有界原理 15.4 有界线性映射的复合 15.5 开映射原理 第16章 有界线性映射的例子 16.1 积分算子的有界性 16.2 Marcel Riesz凸性定理 16.3 有界积分算子的例子 16.4 双曲方程的解算子 16.5 热传导方程的解算子 16.6 奇异积分算子，拟微分算子和Fourier积分算子 第17章 Banach代数及其基本谱理论 17.1 赋范代数 17.2 函数演算 第18章 交换Banach代数的Gelfand理论 第19章 交换Banach代数的Gelfand理论的应用 19.1 代数C(S) 19.2 Gelfand紧化 19.3 绝对收敛的F0urier级数 19.4 闭单位圆盘上的解析函数 19.5 开单位圆盘内的解析函数 19.6 Wiener的陶伯定理 19.7 交换的B代数 第20章 算子及其谱的例子 20.1 可逆映射 20.2 移位 20.3 Volterlra积分算子 20.4 Fourier变换 第21章 紧映射 21.1 紧映射的基本性质 21.2 紧映射的谱理论 第22章 紧算子的例子 22.1 紧性的判别准则 22.2 积分算子 22.3 椭圆偏微分算子的逆 22.4 由抛物型方程定义的算子 22.5 殆正交基 第23章 正的紧算子 23.1 正的紧算子的谱 23.2 随机积分算子 23.3 二阶椭圆算子的逆 第24章 积分方程的Fredholm理论 24.1 Fredholm行列式和nedholm预解式 24.2 Fredholm行列式的乘法性质 24.3 Gelfand－Levian－Marchenko方程和Dyson的公式 第25章 不变子空间 25.1 紧算子的不变子空间 25.2 不变子空间套 第26章 射线上的调和分析 26.1 调和函数的Phragmen－Lindelof原理 26.2 抽象Phragmen－Lindelof原理 26.3 渐进展开 第27章 指标理论 27.1 Noether指标 27.2 Toeplitz算子 27.3 Hankel算子 第28章 Hilbert空间上的紧对称算子 第29章 紧对称算子的例子 29.1 卷积 29.2 一个微分算子的逆 29.3 偏微分算子的逆 第30章 迹类和迹公式 30.1 极分解与奇异值 30.2 迹类，迹范数，迹 30.3 迹公式 30.4 行列式 30.5 迹类算子的例子和反例 30.6 Poisson和公式 30.7 如何将算子的指标表示成迹的差 30.8 Hilbert-Schmidt类 30.9 Banach空间上的算子的迹和行列式 第31章 对称算子、正规算子和酉算子的谱理论 31.1 对称算子的谱 31.2 对称算子的函数演算 31.3 对称算子的谱分解 31.4 绝对连续谱、奇异谱和点谱 31.5 对称算子的谱表示 31.6 正规算子的谱分解 31.7 酉算子的谱分解 第32章 自伴算子的谱理论 32.1 谱分解 32.2 利用Cayley变换构造谱分解 32.3 自伴算子的函数演算 第33章 自伴算子的例子 33.1 无界对称算子的延拓 33.2 对称算子延拓的例子，亏指数 33.3 Friedrichs延拓 33.4 Rellich扰动定理 33.5 矩问题 第34章 算子半群 34.1 强连续的单参数半群 34.2 半群的构造 34.3 半群的逼近 34.4 半群的扰动 34.5 半群的谱理论 第35章 酉算子群 35.1 Stone定理 35.2 遍历理论 35.3 Koopman群 35.4 波动方程 35.5 平移表示 35.6 Heisenberg交换关系 第36章 强连续算子半群的例子 36.1 由抛物型方程定义的半群 36.2 由椭圆型方程定义的半群 36.3 半群的指数型衰减 36.4 LaX-Phillips半群 36.5 障隘外部的波动方程 第37章 散射理论 37.1 扰动理论 37.2 波算子 37.3 波算子的存在性 37.4 波算子的不变性 37.5 位势散射 37.6 散射算子 37.7 Lax-Phillips散射理论 37.8 散射矩阵的零点 37.9 自守波动方程 第38章 Beurling定理 38.1 Hardy空间 38.2 Beurling定理 38.3 Titchmarsh卷积定理 附录ARiesz－Kakutani表示定理 A.1 正线性泛函 A.2 体积 A.3 函数空间工 A.4 可测集和测度 A.5 Lebesgue测度和积分 附录B 广义函数理论 B.1 定义和例子 B.2 广义函数的运算 B.3 广义函数的局部性质 B.4 在偏微分方程中的应用 B.5 Fourier变换 B.6 Fourier变换的应用 B.7 Fourier级数 附录C Zorn引理 关键词索引 |
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