定义

解释

使用

反证法的证明

范例

定义

反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化到不可能”，源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。

解释

反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

使用

反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆

反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：

欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真

反证法的证明

反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：

某命题：若A则B，则此命题有4种情况：

1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；

2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假；

3.当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；

4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；

∴一个命题与其逆否命题同真假

即反证法是正确的。

范例

两个反证法的范例

证明：素数有无穷多个。

这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：

假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1<a2<……<an.

此时，令N=a1*a2*……*an+1,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N>ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！

证明：根号二是无理数。

假设命题不真，则√2为有理数，设√2=n/m，即最简分数的形式。

则n∧2/m∧2=2，2m∧2=n∧2

所以n∧2为偶数，则n为偶数，可表示为2x

则2m∧2=4x∧2

所以m∧2=2x∧2

则m也为偶数

所以m和n有公因数2，与n/m为最简分数矛盾

所以√2为无理数！

这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽。