定义

性质

反正弦恒等式

函数图像：

证明(单调性 奇偶性)

定义

函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny.

习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式

请注意正弦函数y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。

反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。

理解 函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记

性质

根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的

定义域[-1，1]

值域[－π/2，π/2]

是单调递增函数

图像关于原点对称，是奇函数

所以有arcsin(-x)=-arcsinx，注意x的取值范围:x∈[-1，1]

反正弦恒等式

sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1]

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

函数图像：

我们知道这个结论函数f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称”，

先画出函数y=sinx在[－π/2，π/2]上的图像，用平板玻璃或透明纸画好图像，翻转过来。

证明

单调性

在x，y∈[-π/2,π/2]x<y时：

sinx-siny=2sin[(x-y)/2]cos[(x+y)/2]

∵2sin[(x-y)/2]∈[-π,0]<>0

cos[(x+y)/2]∈[-π,0]><0

∴sinx-siny<0,sinx<siny.

∴在-1<x<y<1时，arcsinx<arcsiny

∴是增函数

奇偶性

∵y=sinx,y=x都是奇函数，∴y=arcsina也是奇函数