法雷级数定义

性质

法雷级数定义

R.亨斯贝尔格著李忠翻译的《数学中的智巧》一书，介绍了法雷级数。这里每一行从0/1开始，以1/1结尾，其它数自左至右将所有的真分数按增加顺序排列；第n行是由所有分母小于或等于n的真分数组成，我们称为n阶法雷级数。如下表：

F1： 0/1 1/1

F2： 0/1 1/2 1/1

F3： 0/1 1/3 1/2 2/3 1/1

F4： 0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1

F5： 0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

F6：0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1

…… ………………………………

这里我们想问的是第n行Fn的真分数的个数有多少个呢？

我们设Fn的个数为ψ(n), ψ(n)比 ψ(n-1)增加的个数是分母是n，分子比n小且与n互质的数的个数，这正是欧拉函数φ（n）。即

ψ(n)=ψ(n-1)+ φ（n）

ψ（1）=1+φ（1）

ψ（2）=ψ（1）+φ（2）

ψ（3）=ψ（2）+φ（3）

………………

ψ(n)= ψ(n-1)+ φ（n）

所以 ψ(n)=1+φ（1）+φ（2）+φ（3）+……+φ（n）很容易证明，当n≥3时，欧拉函数φ（n）是个偶数。由此我们得到除ψ（1）=2是偶数外，法雷级数其它各级的个数都是奇数，并且许多是素数。ψ（1）=2，ψ（2）=3，ψ（3）=5，ψ（4）=7，ψ（5）=11，ψ（6）=13，ψ（7）=19，ψ（8）=23，ψ（9）=29，……。

性质

法雷级数Fn具有很多美妙的性质，下面是一些常见的性质：

1.如果a/b,c/d是相邻的两项，则abs（a*d-b*c）=1。

2.如果a/b,c/d,e/f是相邻的三项，则 (a+e)/(b+f)=c/d，特别的，如果c/d是新添加的，即c/d不属于F（n-1），则c=a+e；d=b+f。

性质2对于这个问题至关重要，它的证明可以参见哈代(Hardy)写的数论导引第三章

关于Farey级数的介绍。根据这条性质可以知道，丛F（n−1）到F（n）的构造过程中，F（n）的新项的分母一定是其相领两项的分母和。另一方面，如果F（n−1）中的相邻两项 a/b,c/d, b+d=n,则(a+c)/n一定会被添加到F（n）中。