二分法悖论是古希腊哲学家芝诺于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问中提出的四个著名悖论之一。

内容

分析

推翻

结语

相关资料(悖论概念 经典悖论)

内容

芝诺（Zeno）在访问雅典时发明了四个悖论，构成了一堵铁墙，阻挡了一切进步的可能。

二分法悖论是其中之一：运动是不可能的，因为物体在到达终点之前必须先到达路程的二分之一，而在到达二分之一之前必须到达路程的四分之一，无穷无尽，甚至运动永远无法开始。

分析

有人说，二分法悖论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。这种观点正确吗？当然不正确。

为了说明为什么不正确，让我们先来看看什么是二分法悖论？芝诺假设，当一个物体行进一段距离到达D，它必须首先到达距离D的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一以至可以无穷的划分下去。因此，这个物体永远也到达不了D。

芝诺的二分法悖论说要从A运动到B必先至其中点C，而至C之前又必先至AC中点D，如此无限倒退，则运动不可能。但仔细考虑好像此悖论并不存在。首先，芝诺在一线段上不断取中点就预设了线段可被有穷分割为其本身不可再被分割的若干点。正如“芝诺悖论使用的是反证法，他不是从正面论证“一”，而是假定“一”的反面“多”，假定空间和时间可以分割，由此推论出与经验矛盾的结论”。也即是说芝诺预设了空间分割的终极单位点的存在，并且其本身不可再被分割，因为这些点如果能被再分割就不成其为“点”而是成为“段”了。同时，这些点是有大小的，或者说这些点是占据了一定空间的，因为本身无大小不占据任何空间的东西不具有实际存在性，而那条线段显然不能被分割为一些本身不具实际存在性的东西。

现在考虑芝诺论证中那不断向起始点A靠近的中点，由于无限靠近A，那中点与A的距离越来越小。可以想象，在某一情况下那中点与A的距离小到刚好就等于一个点本身的大小。这不仅是可能的，而且是必然的，因为如果那距离还大于一个点，那它就可以而且必然被下一个中点继续分割。但是，当那距离就等于一个点本身的大小时，那距离是不能再被分割了，因为它本身就是一个点！此时的起始点与中点之间再没有任何下一中点来“阻隔”了。也就说，芝诺论证中的中点倒退过程不是无限的，而必然是有限的。那么从直接到达这有限过程中的最接近起始点A的那一中点开始，运动就开始了。

看来，二分法论证并不能否定运动，也即得不出与经验有悖的结论。芝诺期待的反证结论——世界乃“一”而非“多”——也是不可得的。

推翻

这个悖论其实根本不是什么悖论，那只是一个错误的命题。因为出悖论的人只想到，二分之一的分下去，物体永远达不到D点，但那人没有想到，物体自身还存在着长度，如果物体的长度永远小于无限分下去的二分之一，那么物体就可能永远也达不到D点。但问题是，当物体自身的长度大于分的过程中的某个二分之一的时候，物体就可以到达D点了。

另一种解释：我们定义物体的速度，时间，距离之间是关系时，是定义为一个物体（点）走过多少距离，需要多少时间，由此才有速度。因此，当我们认为距离（线段）是无限可分的时候，其实忽略了时间也是无限可分的，一个物体速度既定，那么它的时间和所走距离是呈线性关系的，我们本能的认为线段可以无限细分，却忽略了时间仍能无限细分（一个线段可以再分成两段，一个时间段也可以再分成两个小时间段），且时间与距离同步。悖论认为线段可无限再分，故要走过无限条线段需要的时间是无限的，由此认为运动无法开始也无法结束，永无止尽，这个命题之所以是错误的，是因为我们其实可以用无限个时间片段来走完无数个线段，最终之和为有限的时间走完有限长度的线段。即一个点可以在有限的时间内走完无数条线段。

结语

从这里可以看出，有些悖论其实就是人的错误的逻辑推论。如果把这种错误的逻辑推论，或说错误的逻辑命题使用在具体科学的研究上，恐怕会让具体科学走很多弯路。

二分法悖论的错误之所在,就是它不符合矛盾观.因为绝对单一的一方面的事物和现象都是无法独自产生矛盾发生变化的.而单纯有限的事物的变化也是无法证明事物发展的无限性的.所以说,这种对二分法的认识,不过是对世界矛盾现象的一点认识罢了。

相关资料

悖论概念

悖论是指一种导致矛盾的命题。悖论（paradox）来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。

把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集，例如，自然数集N本身不是一个自然数，因此N是正常集。凡是以自身作为元素的集合称为异常集。例如，所有的非生物的集合F并非生物，因此F是异常集。

这样，许多日常中常见的悖论（说谎者悖论，理发师悖论，上帝悖论等）都可以归入异常集之中了。

另外一种悖论是关于无限的，虽然我们现在基本上都能接受极限的理论，但是要把这个理论向那些不懂的人解释还是十分困难的。

经典悖论

比较经典的悖论有：

1、古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）的阿基里斯悖论：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。

2、1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多：康托尔（1845－1918）成功地证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，1厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。