多值函数(定义 多值函数与函数的定义有关问题)

多值函数

多值函数

定义

从输入值集合X到可能的输出值集合Y的函数f (记作f:X→Y) 是X与Y的关系，满足如下条件：

对X中任一元素x都有集合Y中的元素y满足x与y是f相关的。即，对每一个输入值，Y中都有至少一个与之对应的输出值。

则此函数为多值函数。

多值函数与函数的定义有关问题

1.函数是指实数集对实数集的映射，而从映射的角度出发是定义域中的每个元素只能有一个像。多值函数的一个X可以有两个Y与之对应，这是否与函数的定义相违背？

2.多值函数是不是函数?

如下：

如果定义函数是映射的一种，那么从射影的定义上来看，多值函数不是函数，正如一个物体不会同时拥有两个影子。

如果定义函数是一种对应法则（许多课本亦如此定义），那么毫无疑问，多值函数是函数的一类。

所以多值函数是不是函数取决于对于函数的定义。

但是多值函数往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数也称为多值函数的单值分支。所以在实际应用上，多值函数和函数的概念并不会造成困扰。

多值函数

多值函数从输入值集合X到可能的输出值集合Y的函数f (记作f:X→Y) 是X与Y的关系，满足如下条件：

对X中任一元素x都有集合Y中的元素y满足x与y是f相关的。即，对每一个输入值，Y中都有至少一个与之对应的输出值。

你认为的矛盾是已经从某种意义上把多值函数归为函数范畴了，如果你把术语函数换成对应来就好理解，对应和多值对应从字面意思就能看出他们所指并不一样，所以并不存在矛不矛盾的话题。就相当于解释什么是‘维’‘一维’‘二维’‘多维’一样。

2.问题出在函数的定义里，在早些年出版的教材里，函数的定义里没有“唯一”两个字，因此函数就有单值函数与多值函数的区分，按那种定义，多值函数是函数；近年出版的教材里，函数的定义里有“唯一”两字，因此函数都是单值的，从这个意义上说，多值函数就不是函数了。