对角论证法

对角论证法是乔治·康托尔提出的用于说明实数集合是不可数集的证明。

对角线法并非康托关于实数不可数的第一个证明，而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它数字系统。自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法。

对角论证法证明实数集合为不可数集

康托的原始证明表明区间[0，1]中的点数不是可数无穷大。该证明是用反证法完成的，步骤如下：

假设(从原题中得出)区间[0，1]中的点数是可数无穷大的于是乎我们可以把所有在这区间内的数字排成数列, (r1,r2,r3,...)已知每一个这类的数字都能以小数形式表达我们把这些数字排成数列(这些数字不需按序排列; 事实上，有些可数集, 例如有理数也不能按照数字的大小把他们全数排序，但单只是成数列就没有问题的)在部份有多种表达形式的数字上，例如0.499 ... = 0.500 ..., 我们选择前者.举例，如果该数列小数形式表现如下:

r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ......

考虑rk小数点后的第k个位，为了方便起见, 我们底间并粗体这些数字，从下图你应明白为什么这个证明被称为对角论证法

r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ......

我们设一实数, 其中x是因应以下的方式定义的 如果rk的第k个小数位等于5,

那么x的第k个小数位是4如果rk的第k个小数位不等于5,

那么x的第k个小数位是5明显地x是一个在区间[0，1]内的实数，以之前的数为例, 则相对应的x应为 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...由于我们假设(r1,r2,r3,...)包括了所有区间[0, 1]内的实数，所以一定有一个rn = x 但由于x的特殊的定义，这使到x和rn的第n个小数位是不同的，所以所以(r1,r2,r3,...)并不能罗列所有区间[0, 1]内的实数，这发生了矛盾。所以在第一点内所提出的假设"区间[0，1]中的点数是可数无穷大的"是不成立的。