对称性与守恒性

数学(1. 旋转操作和对称轴 2.对称中心和反演操作 3.反映操作和镜面对称 4.反轴和旋转反演操作 5.映轴和选择反映操作)

物理学

工艺

对称性与守恒性

1918 年德国数学家艾米·诺特（A·E·Noether）提出著名诺特定理（Noether theorem）：作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒量。从而将对称和守恒性这两个概念是紧密地联系在一起的。因为诺特是女性，哥廷根大学却不准她开课；希伯特（David Hilbert,1862－1943）闻之拍案而起：“大学又不是澡堂子，为什么男女有别?!”最后还是以希伯特名义开课，由诺特代授。爱因斯坦曾在《纽约时报》撰文文中说：“诺特女士是自妇女受到高等教育以来最重要的最富于创造性的天才”。

艾米·诺特(EmmyNoether, 1882-1935)、抽象代数奠
基人。物理定律的对称性也意味着物理定律在各种变换条件下的不变性。由物理定律的不变性，我们可以得到一种不变的物理量，叫守恒量，或叫不变量。比如空间旋转对称，它的角动量必定是守恒的；空间平移对称对应于动量守恒，电荷共轭对称对应于电量守恒，如此等等。爱因斯坦就是当年思考这个问题时，提出“在惯性参考系变换操作下，物理规律保持不变”，这个就是狭义相对性原理。进一步推广为：在任意参考系变换操作下，物理规律保持不变，这个就是广义相对性原理。

诺特定理告诉我们，一个没有对称性的世界，物理定律也变动不定。因此物理学家们已经形成一种思维定式：只要发现了一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒定律；反之，只要发现了一条守恒定律，也总要把相应的对称性找出来。

1926 年，维格纳（E.Wigner）提出了宇称守恒（Parity conservation）定律，就是把对称和守恒定律的关系进一步推广到微观世界。由宏观走向微观必然会展现事物的差异性，所以对称性破缺不可避免，而人们往往忽略这个问题。在微观世界里，基本粒子有三个基本的对称方式：一个是粒子和反粒子互相对称，即对于粒子和反粒子，定律是相同的，这被称为电荷(C)对称；一个是空间反射对称，即同一种粒子之间互为镜像，它们的运动规律是相同的，这叫宇称(P)；一个是时间反演对称，即如果我们颠倒粒子的运动方向，粒子的运动是相同的，这被称为时间(T)对称。如果物质最基本层面的对称能够成立，那么对称就是物质的根本属性，所以弱力环境中

的宇称守恒虽然未经验证，也理所当然地被当时认为遵循宇称守恒规律。

1956 年，两位美籍华裔物理学家— — 李政道和杨振宁大胆提出宇称不守恒从而解决“θ-τ之谜”，并因此获得了诺贝尔奖。诺贝尔奖给他们带来无限荣誉的同时也逐渐使两人的关系走向分裂，从此再未合作过……。

2004 年杨振宁又用自己的婚姻证明了宏观世界婚姻年龄的“对称性破缺”。自从宇称守恒定律被李政道和杨振宁打破后，科学家很快又发现，粒子和反粒子的行为也并不是完全一样的，存在轻微不对称，这导致宇宙大爆炸之初生成的物质比反物质略多了一点点，大部分物质与反物质湮灭了，剩余的物质才形成了我们今天所认识的世界。1998 年欧洲原子能研究中心的科研人员发现，正负K 介子在转换过程中存在时间上的不对称性。至此，粒子世界的物理规律的对称性全部破碎了。

数学

对称狭义定义为：一个物体包含若干等同部分，对应部分相等。不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原的操作，称为对称性操作，物理学中也称反演操作。对称性操作主要有：旋转、反映、反演、象转、反转；旋转和反映是基本对称操作。完成对称操作的几何元素称为对称元素，包括：旋转轴， 镜面，对称中心，映轴，反轴；对称轴和对称面是基本的对称元素。

1. 旋转操作和对称轴

旋转操作是将分子绕通过其中心的轴旋转一定的角度使分子复原的操作，旋转所依据的对称元素为旋转轴。n 次旋转轴的记号为Cn，使物体复原的最小旋转角（0 度除外）称为基转角（α）称为基转角α，对Cn 轴的基转角α= 360°/n 旋转角度按逆时针方向计算。和Cn 轴相应的基本旋转操作为Ĉn

1（表示操作时，元素符号头上加个^，也很多有参考书上不加^也行），它为绕轴转360°/n 的操作。分子中若有多个旋转轴，轴次最高的轴一般叫主轴。

一次轴Ĉ1 的操作是个复原操作，又称为主操作或可复原操作Ê。因为任何物体在任何一方向上绕轴转360°/n 均可复原，它和乘法中的1 相似。C2轴的基转角是180 度，基本操作是，连续进行两次相当于主操作： Ĉ2

1×Ĉ22= Ĉ22=Ê；C3轴的基转角是120 度，C4轴的基转角是90 度，C6轴的基转角是60 度。n=2，3，4，6 分别成为二度，三度，四度，六度转轴。

2.对称中心和反演操作

当分子有对称中心时，从分子中任意一原子至对称中心连一直线，将次线延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另一相同原子，即每一点都关于中心对称。依据对称中心进行的对称操作为反演操作，是按照对称中心反演，记为i；n为偶数时in=E，n为奇数时in=i

3.反映操作和镜面对称

镜面是平分分子的平面，在分子中除位于经面上的原子外，其他成对地排在镜面两侧，它们通过反映操作可以复原。反映操作是每一点都关于镜面对称，记为σ；n为偶数时σn=E，n为奇数时σn=σ。和主轴垂直的镜面以σh表示；通过主轴的镜面以σv表示；通过主轴，平分副轴夹角的镜面以σd 表示。

4.反轴和旋转反演操作

反轴In的基本操作为绕轴转360°/n，接着按轴上的中心点进行反演，它是C1n和i相继进行的联合操作：I1n=iC1n； 绕In轴转360°/n，接着按中心反演。

5.映轴和选择反映操作

映轴Sn的基本操作为绕轴转360°/n，接着按垂直于轴的平面进行反映，是C1n和σ相继进行的联合操作： S1n=σC1n；绕Sn轴转360°/n，接着按垂直于轴的平面反映。

物理学

对称性Symmetry 对称性是人们在观察和认识自然的过程中产生的一种观念。对称性可以理解为一个运动，这个运动保持一个图案或一个物体的形状在外表上不发生变化。在自然界千变万化的运动演化过程中，运动的多样性显现出了各式各样的对称性。在物理学中存在着两类不同性质的对称性：一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类是物理规律的对称性。物理规律的对称性是指经过一定的操作后，物理规律的形式保持不变。因此，物理规律的对称性又称为不变性。

对称性（symmetry）是现代物理学中的一个核心概念，它泛指规范对称性（gauge symmetry) , 或局域对称性（local symmetry）和整体对称性（global symmetry）。它是指一个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性。如果这些变数随时空变化，这个不变性被称为局域对称性，反之则被称为整体对称性。物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性。

数学上，这些对称性由群论来表述。上述例子中的群分别对应着伽利略群，洛伦兹群和U(1)群。对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（continuous symmetry）和分立对称性(discrete symmetry)。德国数学家威尔(Hermann Weyl)是把这套数学方法运用於物理学中并意识到规范对称重要性的第一人。

二十世纪五十年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式，并构造了核作用的SU(2)规范理论。从此，规范对称性被大量应用於量子场论和粒子物理模型中。在粒子物理的标准模型中，强相互作用，弱相互作用和电磁相互作用的规范群分别为SU(3)，SU(2)和U(1)。除此之外，其他群也被理论物理学家广泛地应用，如大统一模型中的SU(5)，SO(10)和E6群，超弦理论中的SO(32)。

考虑下面的变换：将位于某根轴的一边的所有点都反射到轴的另一边，从而建立一个系统的镜像。如果该系统在操作前后保持不变，则该系统具有反射对称性。反射下的不变性（比如人体的两边对称性）与转动下的不变性（比如足球的转动对称性）相当不同。前者是分立对称性，而后者是连续对称性 。连续对称性对任意小变换均成立，而分立对称性却有一个变换单位，两者在物理学中都起重要作用。

工艺

Symmetry 对称性，钻石切割打磨后获得的各部分的围绕中心点的水平对称， 即切面排列及相互的角度。与比率一样同为评价二的重要指标。如果一颗钻石的车工及比例均属优良，对称的切割会令闪光及火采更加强烈。国外证书关于对称性的评价较为详细，从高到低依次有 ideal （ID）， excellent （EX）（或Premium）， very good （VG） ，fair （F） ，poor （P）。

日常生活

日常生活中常说的对称性，是指物体或一个系统各部分之间的适当比例、平衡、协调一致，从而产生一种简单性和美感。