众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。

积分的分类

定积分的定义

黎曼积分

定积分的分点问题

定积分的性质

微积分基本定理

定积分的应用

定积分定理

积分的分类

不定积分是一组导数相同的原函数，定积分则是一个数值。求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分；求一个函数相应于闭区间的一个带标志点分划的黎曼和关于这个分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。

不定积分（Indefinite integral）

　即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。

定积分 （definite integral）

　定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0, x=a ,x=b, y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

定积分的定义

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1], (x1,x2],…,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=X0-a,△x2=X1-0,…,△xi=b-xi.在每个子区间(xi-1,xi)任取一点ξi(i=1,2,…,n)，作和式（见右下图），设λ=max{△x1,△x2,…,△xi}(即λ属于最大的区间长度)，则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为（见右下图）：

其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式，∫ 叫做积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？

定积分的分点问题

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1),那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值.

利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数f(x)=x^k（k∈Q，k≠-1），有∫下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。

我们选择等比级数来分点，令公比q=n^√(b/a),则b/a=q^n，b=aq^n。令分点x0=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b,因为f(xj)=xj^k=a^k*q^jk,且Δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j 那么“矩形面积和”

Sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)]

提出a^k*(aq-a), 则

Sn=a^(k+1)*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+……q^(n-1)(k+1)]

利用等比级数公式，得到

Sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/N

其中N=(q^(k+1)-1)/(q-1),设k=u/v(u,v∈Z),令q^(1/v)=s,则

N=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/((s^v-1)/(s-1))

令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为(u+v)/v=u/v+1=k+1.

于是∫下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。

定积分的性质

①：常数可以提到积分号前。②：代数和的积分等于积分的代数和。

③：定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个

子区间[a,c]与(c,b]则有（见右图）

微积分基本定理

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么∫ _a^b(f(x) dx ) =F(b)-F(a)

用文字表述为：一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

定积分的应用

1，解决求曲边图形的面积问题

例：求由抛物线y^2=4x与直线y=2x-4围成的平面图形D的面积S.

2，求变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。

3，变力做功

某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。（见图册“应用”）

定积分定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。