调和函数

满足拉普拉斯方程

“重调和”方程

调和函数

如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域Ω中的调和函数.

满足拉普拉斯方程

在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程

若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：

即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。

更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数 u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：形如上式右端的积分称作泊松积分。

设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。

由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界G上给定一连续函数 ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即

在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。

对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。

二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为

(0≤r＜R)。

对于任何α,│α│<R，此式还可写成

泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要结果。

“重调和”方程

若u(x,y)满足“重调和”方程

则称u是重调和函数,它是数学物理方程理论中的一个重要函数类。调和函数和重调和函数，在力学和物理学中都有重要的应用。类似地也有高维的重调和函数。由于拉普拉斯方程是椭圆型方程的一个特殊情况，故后者的解的一般性质也是调和函数的性质。