点乘(坐标化表示 运用)

叉乘(坐标化表示)

点乘

点乘（dot product），也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。

向量a·向量b=|a||b|cos<a,b> （ <a,b> 指向量a与向量b之间的夹角）

在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。

坐标化表示

将向量用坐标表示（三维向量），

若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，

则 ，向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

运用

（一）点乘可用于判断向量垂直

判断条件：

在向量a与向量b的模皆不为0的情况下，向量a·向量b=0

由向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>可很容易的得出

当|a| 、|b|皆不为0时，cos<a,b>为0

也即向量a与向量b互相垂直。

（二）关于用点乘判断向量平行的误区

判断平行：

向量a·向量b=|a|*|b|；

而非向量a·向量b=1（×）

由向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>可很容易的得出

叉乘

叉乘（cross product），也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> （ <a,b> 指向量a与向量b之间的夹角）

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的食指先表示向量a的方向，然后中指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

因此

向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b= - 向量b×向量a

在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。

坐标化表示

将向量用坐标表示（三维向量），

若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，

则 ，向量a×向量b= | i j k ||a1 b1 c1||a2 b2 c2|

=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。