英文名称

定义

特殊的幺模矩阵

不定方程中的作用

计算机科学中的用途

英文名称

Unimodular Matrix

定义

数学上，幺模矩阵是所有项都是整数而且行列式为1或-1的方阵。而幺模矩阵的逆还是幺模矩阵，所以所有的幺模矩阵构成一个乘法群。

特殊的幺模矩阵

单位矩阵是一个特殊的幺模矩阵

矩阵的行初等变换对应于一个方阵，而其中交换两行的初等变换对于于左乘一个行列式为-1的幺模矩阵，将一行的k倍(k为整数)累加到另外一行对于与一个行列式为-1的幺模矩阵。

不定方程中的作用

对于二次型，我们可以将它写成矩阵形式f(x)=x'Ax，其中A是一个整系数对称方阵。如果T是一个幺模矩阵，那么二次型x'T'ATx和上面的二次型有相同的值域，也就是说不定方程x'Ax=c有解的充分必要条件是对某个幺模矩阵，不定方程x'T'ATx=c有解。

特别的，如果A是二阶或三阶的整系数正定对称矩阵，如果其行列式为1，那么存在幺模矩阵T使得A关于T合同与单位阵I,即A=T'T.

比如，利用这个结论，我们可以证明，任意一个正整数不能够表示成三个整数平方和的充分必要条件是它形如4^a(8k+7).为此，对于不是上面形式的整数n,我们只需要构造一个行列式为1的三阶整系数对称正定阵，其值域能够取到n即可。

计算机科学中的用途

在编译器优化中，幺模矩阵在对于循环语句的优化有着非常重要的作用。其中，关于循环语句的最常用的优化变换比如循环交换，循环倒置和循环扭曲都可以统一通过幺模矩阵来表示，以至于编译器中将这一类变换称为幺模变换。