简介

具体定义

具体性质

简介

周期映射是Hodge理论中的重要概念，由大数学家 Griffith（格列菲斯）首先引入。它主要反映了一族具有Hodges结构的紧复流形（特别是Kaehler流形）随着参模位置变化时，其Hodges结构是如何变化的。

具体定义

设Φ: χ→B 是由一族以B上点为参模的紧复流形构成的簇。换句话说，Φ是一个全纯的正常（Proper）淹没， 对B上每个点b, 纤维 X_b=Φ^{-1}(b) 是一个n维的紧致 复流形。

在中心纤维X_0附近，每个纤维X_b都是彼此微分同胚的，因此他们具有相同的DeRham(德拉姆) 同调群 ： H^k(X_b, C)≌H^k(X_0, C). 这里C是复数域。

假设X_0上有Hodge滤过（Hodge filtration）F^pH^k(X_0,C)：

F^0H^k(X_0,C) >F^1H^k(X_0, C)>......>F^kH^k(X_0,C),

b^{p,k}表示向量空间F^pH^k(X_0,C)的维数。

那么对中心纤维附近的其它纤维X_b也有相应的Hodge滤过 ，且对应的b^{p,k}保持一致。

因此当b∈B在0附近微小的变动时， F^pH^k(X_b,C) 作为线性空间 H^k(X_b, C)≌H^k(X_0, C)的线性子空间， 在随着b作连续的转动。 换句话说， 随着b的变动， F^pH^k(X_b,C)作为格拉斯曼流形 Grass(b^{p,k}, H^k(X_0,C)) 中的点，也在变动。

周期映射就是反应这种变动的映射。 具体写为

Ρ^{p,k}：B→Grass(b^{p,k}, H^k(X_0,C)) .

具体性质

格里菲斯证明了周期映射是全纯映射， 并且导出了其切映射（即切空间之间的映射）的具体表示。我们会发现，这一切映射可以通过Kodaira-Spencer（小平邦彦 --斯潘色）映射诱导， 它反映了模空间在这一点处的切空间方向。

周期映射应用到代数曲面的纤维化 ， 就和代数曲线的很多经典定理联系起来， 特别是著名的Torelli定理。 这个定理是说，如果两条曲线有相同的极化Hodge结构(Polarised HS)，那么它们必定同构--换句话说，在典范基下，它们有相同周期矩阵， 那么必同构。