词条 | 正规数 |
释义 | 正规数(Normal Number)是数字显示出随机分布,且每个数字出现机会均等的实数。“数字”指的是小数点前有限个数字(整数部份),以及小数点后无穷数字序列(分数部份)。 设b是大于1的整数,x是实数。考虑以b为底的位值记数法中x的数字序列。若s是以b为底的有限数字序列,我们以N(s,n)表示字串s在x的开首n个数字出现次数。数x称为以b为底正规若对任意长度k的字串s。 (即是说在x的数字中找到字串s的概率,就像在完全随机生成的数字序列中的一样。)x称为正规数(有时称为绝对正规数)如果以任何b为底x都是正规。 这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。用波莱尔—坎特利引理,他证明了正规数定理:几乎所有实数是正规的,意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。这定理证明存在正规数,但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基(WacławSierpiński)。 非正规数集合是不可数的,这个结果容易得出,想法是从每个实数中完全除去一个数字。 钱珀瑙恩数(Champernowne) 0.1234567891011121314151617... 是从连结所有自然数的数字而得出的数,它以10为底正规,但在某些底不是正规。 科普兰—艾狄胥常数(Copeland-Erdős) 0.235711131719232931374143... 从连结所有质数的数字而得出的数,也是以10为底正规。 有理数在任何底都不是正规,因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韦罗妮卡·比彻(Verónica Becher)和桑蒂亚戈·菲盖拉(Santiago Figueira)构造一个可计算正规数;蔡廷常数(Chaitin)Ω给出一个不可计算的正规数例子。 要证明一个不是明确构造为正规数的数的正规性非常困难。例如2的平方根 、圆周率π(它的二进制表达已被证明为正规数)、2的自然对数ln2和e是否正规仍不知道。(但基于实验证据,猜想它们很可能是正规数。)证明仍遥不可及:就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道。大卫·贝利(David H. Bailey)和理查德·克兰德尔(Richard E. Crandall)在2001年猜想每个无理代数数是正规的,虽没有找到反例,却还没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。 |
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