带权中位数，就是给定的N个数都有一个权值，或者说相当于个数。此时的中位数就不再是第N/2个数了，而是第∑DI/2个数。

定义

带权中位数问题：

证明（简）：

证明的简单说明：

一些符号的意思：

定义

我们都学过中位数问题，即给定了N个数后，位于第[N/2]的数就是中位数。

带权中位数问题：

而在信息学竞赛中，有这样一类题，给出了若干个排列在一条直线上的点，每个点有一个权值，比如说货物量、人数什么的，然后让我们找出使所有点的货物、人集合到一个点的总代价最小的位置。我们将会发现，这一类问题实际上就是带权中位数问题。

例如：

我国蒙古大草原上有 N（N 是不大于 100 的自然数）个牧民定居点 P1（X1，Y1）、P2

（X2，Y2）、 …Pn（Xn，Yn），相应地有关权重为 Wi，现在要求你在大草原上找一点 P（Xp，

Yp），使 P点到任 一点 Pi的距离 Di 与Wi 之积之和为最小。

即求 D=W1*D1+W2*D2+…+Wi*Di+…+Wn*Dn 有最小值

结论：对 x与 y两个方向分别求解带权中位数，转化为一维。

设最佳点 p为点 k，则点 k 满足：

令 W 为点 k到其余各点的带权距离之和，则

sigma( i=1 to k-1) Wi <= W/2

sigma( i=k+1 to n) Wi <= W/2

同时满足上述两式的点 k 即为带权中位数。

证明（简）：

若最优点在T

则有：

∑{D[I]*DIST(I，T)}(I<>T)<=∑{D[I]*DIST(I,T+1)}(I<>T+1)

将此式化为：

∑{D[L]}*DIST(L,T)}+∑{D[R]*DIST(R,T)}+D[T+1]*DIST(T+1,T)

<=∑{D[L]}*DIST(L,T+1)}+∑{D[R]*DIST(R,T+1)}+D[T]*DIST(T,T+1) (L<T&R>T+1)

即：

∑{D[L]*DIST(L,T+1)}-∑{D[L]*DIST(L,T)}(L<T)+D[T]*(DIST(T,T+1))>=∑{D[R]*DIST(R,T)}-∑(D[R]*DIST(R,T+1))(R>T+1)+D[T+1]*(DIST(T,T+1))进一步化简为：

∑{D[L]*(DIST(L,T)-DIST[L,T+1])}(L<=T)<=∑{D[R]*(DIST(R,T+1)-DIST(R,T))}(R>=T+1)∵DIST(L,T)-DIST(L,T+1)=DIST(T,T+1)

DIST(R,T+1)-DIST(R,T)=DIST(T+1,T)

OBVIOUSLY : DIST(T,T+1)=DIST(T+1,T)

因此：

∑D[L](L<=T)>=∑(D[R])(R>=T+1)

即：∑D[L](L<T)+D[T]>=∑(D[R])(R>T)

因此我们发现，若T是最优点，则必有其左边的权值和加上D[T]后大于右边的权值和

而类似的，我们可以证明其右边的权值和加上D[T]后大于左边的权值和

因此我们要找的点也就是满足以上条件的点。注意到此时我们的选择已经和具体的位置（坐标）没有关系了，而成为主要考虑因素的仅仅是各点上的权值。

因为左边的权值和数+D[T]>=右边的权值和，那么：

LEFTSUM+D[T]>=RIGHTSUM=SUMALL-(LEFTSUM+D[T])

=>2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL

=>2*RIGHTSUM<=SUMALL

同理可得：

RIGHTSUM+D[T]>=LEFTSUM=SUMALL-(RIGHTSUM+D[T])

=>2*(RIGHTSUM+D[T])>=SUMALL

=>2*LEFTSUM<=SUMALL

此时我们发现：

2*LEFTSUM<=SUMALL 而 2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL

也即是说当前的位置T上的数包含了第[(SUMALL)/2]个数，由开篇的简述可知，这第[(SUMALL)/2]个数，就是这个序列中的带权中位数。所以这一类问题，实质上就是带权中位数问题。

证明的简单说明：

我们可以简单地把上面的证明过程看作是左边的人都集合到了M点，而右边的人都集合到了M+1点。此时形成了两军对垒的形式，如果左边的总人数比右边的多，那么从左边走到右边去就没有从右边走到左边来优，反之亦然。那么既然在当前点我们左边的总人数已经比右边多了，那么再往右边移动，左边的人数会进一步增多，而右边的人会减少，那么只会导致更差的结果，所以此时我们可以判断最优点一定在当前点的左边，或者至少在当前这个点。那么范围就从当前的[L，R]缩小到了[L，M]，通过不断地缩小范围（而每一次缩小我们都砍掉了一半的范围），最后我们得到的将是一个点——那就是我们要求的集合位置。

一些符号的意思：

D[I]—第I个点的权值

DIST（I，J）—I到J点的距离，即DIST（I，J）=|NUM[I]-NUM[J]|

由定义式易知：DIST（I，J）=DIST（J，I）