什么是亚拉巴马悖论

选票分配的基本原则是公平合理，要做到公平合理。一个简单的办法是，选票按人数比例分配。但是会出现这样的问题：人数的比例常常不是整数。一个简单的办法是四舍五入，可四舍五入的结果可能会出现名额多余，或名额不足的情况。因为有这个缺点，美国乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·汉密尔顿在1790年提出一个解决名额分配的办法，并于1792年为美国国会所通过。

美国国会的议员是按州分配。假定美国的人口数是p，各州的人口数分别是p1,p2,Λ,pl。再假定议员的总数是n，记：

称它为第i个州分配的份额.汉密尔顿方法的具体操作如下：

(1) 取各州份额qi的整数部分[qi]，让第i个州先拥有[qi]个议员。

(2) 然后考虑各个qi的小数部分{qi}，按从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配完为止。

汉密尔顿方法看起来十分合理，但是仍存在问题。按照常规，假定各州的人口比例不变，议员名额的总数由于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变，或者增加，至少不应该减少，可是汉密尔顿方法却不能满足这一常规。1880年，亚拉巴马州曾面临这种状况，人们把汉密尔顿方法产生的这一矛盾叫作亚拉巴马悖论。

这个问题从诞生之日起，就一直吸引着众多政治家和数学家去研究。这里要特别提出的是，1952年数学家阿罗证明了一个令人吃惊的定理——阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统。这就是说，只有相对合理，没有绝对合理。原来世上本无“公”！阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑。

亚拉巴马悖论的实例说明

假定某学院有三个系，总人数是200人，学生会需要选举20名委员，表1是按汉密尔顿方法进行分配的结果。

表1：

系别　人数　所占份额　应分配名额　最终分配名额

甲　103　51.5　10.3　10

乙　63　31.5　6.3　6

丙　34　17　3.4　4

合计　200　100　20　20

由于考虑到20个委员在表决提案时会出现10:10的结局，所以学生会决定增加1名委员。按照汉密尔顿方法分配名额得到表2。

表2：

系别　人数　所占份额　应分配名额　最终分配名额

甲　103　51.5　10.815　11

乙　63　31.5　6.615　7

丙　34　17　3.570　3

合计　200　100　21　21

表2的例子指出，委员的名额增多了，但丙系反而减少一名，令丙系不能接受！