以直角三角形两条直角边向外做两个半圆，以斜边向内做半圆，则三个半圆所围成的两个月牙型面积之和等于该直角三角形的面积。

这是古希腊数学家希波克拉底发现的一条平面几何里应用挺广的优美定理

希波克拉底的证明。首先，

AB，且与半圆相交于C，并连接AC与BC。平分AC于D，然后，以D为圆心，以AD为半径作半圆AEC，这样，就形成了新月形AECF

希波克拉底的证明方法既简单又高明。首先，他必须证实所论证的新月形与图中阴影部分的△AOC面积完全相等。这样，他就可以应用已知的三角形能表示为等价平方的公理来断定新月形也可用等价平方表示。这一经典论证的详细过程如下：

定理：新月形AECF可用等价平方表示。

证明；由于∠ACB内接于半圆，所以，∠ACB是直角。根据“边角边”

勾股定理，就得到

因为AB是半圆ACB的直径，AC是半圆AEC的直径，所以，我们可以应用上述第三条原理，即得到

也就是说，半圆AEC的面积是半圆ACB面积的一半。

我们现在来看扇形AFCO（“扇形”是圆的四分之一）。显然，这一扇形也是半圆ACB面积的一半，据此，我们可直接得出

面积（半圆AEC）=面积（扇形AFCO）

最后，我们只需从这两个图形中各自减去它们共同的部分AFCD，如图1.16所示，即

面积（半圆AEC）—面积（AFCD部分）

=面积（扇形AFCO）—面积（AFCD部分）

我们从图中可以很快看出，剩下的部分就是

面积（新月形AECF）=面积（△ACO）

我们已知，我们可以作一个正方形，使其面积等于三角形ACO，因而也等于新月形AECF的面积。这就是我们所寻求的化新月形为方的问题。 证讫。

这的确是数学上的一大成就。评注家普罗克洛斯（公元410—485年）以他五世纪的眼光，认为希俄斯的希波克拉底“……作出了新月形的等面积正方形，并在几何学中做出过许多其他发现，是一位作图的天才，如果曾经有过这种天才的话。”