推导

应用

可以证明所有的无穷远点共线，该线称为无穷远线。

推导

麦比乌斯的同胞普吕克也提出了另一种新的坐标系，可谓“三轴坐标系”。普吕克也从一个固定的三角形出发，规定平面上任意点P的坐标，取为从P到该三角形三条边的带正、负号加以区别的垂直距离。如图4，P（x1，x2，x3）。这种坐标也是三个距离数有序之比是唯一确定的，用它写出来的曲线的方程也是齐次的。这种齐次坐标可以转换为笛卡儿坐标。如图5，x＝x1／x3，y＝x2／x3，当我们把三角形的某一边推向很远很远，以至无穷远时，另两边成直角即可。若X3越小，则X、y就越大，若X3＝0，则P成为无穷远线上的点，而无穷线上的点都可表示成x3＝O，所以x3＝0为无穷远线的方程。

应用

对于任意圆锥曲线，只需考虑它与无穷远线的交点，就可以确定该曲线的类别。没有交点的为椭圆，一个交点的为抛物线，两个交点的为双曲线。

对于圆的方程（r-a）2＋（y－b）2=r2，引入普吕克坐标x＝x1／x3，y＝x2／x3，它将写成形如（x1一ax3）2＋（x2-bx3）2=r2x32

的齐次方程。考虑无穷远线与圆的交点由

（x1一ax3）2＋（x2-bx3）2=r2x32 （x1 2＋x22=0

x3=0 或 x 3=0

确定这些圆上无穷远点的坐标为（l，i，O）、（1，－i，O）或正比于它们的数。这样一来，对于很难说清楚的无穷远点、无穷远线、圆上无穷远点等等，都可以用普吕克坐标给出明确的代数表达式。