定义

研究

定义

D、E、F是三角形ABC三点在任一直线L上的投影。则D、E、F到对边BC、AC、AB的垂线共点，这个点称为垂极点。

研究

已知△ABC和任意直线x，自A、B、C作x的垂线，垂足分别为A′、B′、C′； 再自A′、B′、C′分别作对边BC、CA、AB的垂线，那么这三条垂线一定共点这一结论用平方差原理不难论证，它属于两个三角形正交的一种退化情形。（其中退化三角形就是A′B′C′）

所共点X，可称为△ABC关于直线x的“垂极点”（orthopole），见《近代欧氏几何学》§406。

垂极点在近代欧氏几何里是个相对重要的概念，曾被Neuberg、Soons、Gallatly等人广泛研究。它与Simson线甚至费尔巴哈定理都有深刻联系，如：

性质1 倘若一条直线x与△ABC的外接圆相交，则其垂极点正是两个交点处Simson线的交点。

性质2 若直线经过外心，则其垂极点在△ABC的九点圆上。