词条 | 婆罗摩笈多公式 |
释义 | 欧氏平面几何中,婆罗摩笈多公式是用以计算四边形的面积。它最常用于计算圆内接四边形面积。 基本形式婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式,是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d,则其面积为: 其中s为半周长:s=(a+b+c+d)/2 证明圆内接四边形的面积 = △ADB的面积 + △BDC的面积 =1/2pqsinA+1/2rssinC 对△ADB和△BDC利用余弦定理,我们有: 代入cosC = − cosA(这是由于A和C是互补角),并整理,得: 把这个等式代入面积的公式中,得: 它是a − b的形式,因此可以写成(a + b)(a − b)的形式: 引入, 两边开平方,得: 证毕。 一般情况对一般四边形的面积,扩展的婆罗摩笈多公式用到了四边形的对角和: 其中θ是四边形一对角和的一半。(选取另一对角也不会影响答案,因其和的一半是π − θ。而cos(π-θ)=-cosθ,所以 cos(π − θ) = cosθ。) 因为圆内接四边形的对角和为π,θ=π/2,而cosπ/2=0,所以项abcdcosθ为零,给出公式的基本形式。 相关定理海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取d = 0的特殊情形。 婆罗摩笈多公式的基本形式和扩充形式,就像由勾股定理扩充至余弦定理一般。 |
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