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词条 婆罗摩笈多公式
释义

欧氏平面几何中,婆罗摩笈多公式是用以计算四边形的面积。它最常用于计算圆内接四边形面积。

基本形式

婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式,是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d,则其面积为:

其中s为半周长:s=(a+b+c+d)/2

证明

圆内接四边形的面积 = △ADB的面积 + △BDC的面积

=1/2pqsinA+1/2rssinC

对△ADB和△BDC利用余弦定理,我们有:

代入cosC = − cosA(这是由于AC是互补角),并整理,得:

把这个等式代入面积的公式中,得:

它是ab的形式,因此可以写成(a + b)(ab)的形式:

引入,

两边开平方,得:

证毕。

一般情况

对一般四边形的面积,扩展的婆罗摩笈多公式用到了四边形的对角和:

其中θ是四边形一对角和的一半。(选取另一对角也不会影响答案,因其和的一半是π − θ。而cos(π-θ)=-cosθ,所以

cos(π − θ) = cosθ。)

因为圆内接四边形的对角和为π,θ=π/2,而cosπ/2=0,所以项abcdcosθ为零,给出公式的基本形式。

相关定理

海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取d = 0的特殊情形。

婆罗摩笈多公式的基本形式和扩充形式,就像由勾股定理扩充至余弦定理一般。

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更新时间:2025/3/4 1:35:38