定义

例子

在抽象代数中，欧几里得整环（Euclidean domain）是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。

定义

一个欧几里得整环是一整环 D 及函数 ，使之满足下述性质：

若 而 ，则存在 使得 a = bq + r，而且或者 r = 0，或者 v(r) < v(b)。 若 a 整除 b，则 。 函数 v 可设想成元素大小的量度，当 时可取 v(x): = | x | 。

例子

欧几理得整环的例子包括了：

整数环 ，v(x) = | x | 。 高斯整数环 。 域上的多项式环（v(f) = degf）与幂级数环（v(f) 定义为使 X | f(X) 的最大非负整数 n）。 离散赋值环，v(x) 定义为使 的最大非负整数 n，其中 表该离散赋值环的唯一极大理想。 利用辗转相除法（定义中的第一条性质），可以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中 v-值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。

并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了 的整数环在 d = − 19, − 43, − 67, − 163 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。