词条 | 诺特公式 |
释义 | 定义我们这里讨论代数曲面的诺特公式。 它是经典代数几何中最著名的陈类 (即陈省身 示性类)公式之一。假设c_1(X) , c_2(X) 是曲面X的第一第二陈类, 那么我们有诺特公式: c_1^2(X)+c_2(X)=12χ(O_X). 这里 χ(O_X) 是关于X的结构层O_X的上同调示性类。 几何解释陈类c_2(X) 在这里可以理解为X的拓扑结构所对应的欧拉示性数。 c_1^2(X) 可以视为典范除子 K_X 的自交数 。 因此诺特公式反映了同调示性类和拓扑示性类之间的深刻关系。 诺特公式和黎曼洛赫定理 以及宫冈-丘不等式的关系密切。 我们可以将此结论推广到高维代数簇情形。 应用设f:X→C是纤维化, 那么诺特公式诱导了相对不变量的类似公式。 如果从曲线模空间 的角度看, 这一公式相当于反映了模空间中几种重要除子 的关系。结合诺特公式和宫冈-丘不等式, 人们可以得到c_1^2(X)≦9χ(O_X). 由此可以得到一般型极小曲面的典范映射的次数上界估计。 |
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