连通定义：

设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一个连通子集同时包含x和y，我们则称点x和y是连通的．(注意:是点连通)

根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则

（1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）；

（2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）

（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x，y∈A和y，z∈B．从而由于y∈A∩B可见A∪B连通，并且x，z∈A∪B．因此x和z连通．）

连通分支定义：

设X是一个拓扑空间．对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支．

如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支．

拓扑空间X≠ 的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；以及X的所有连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通．