问题概述

解决办法

将军饮马问题的应用拓展

问题概述

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．

这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．

解决办法

如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．

如果将军在河边的另外任一点C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是，AC'+C'B＝A'C'+C'B＞A'B＝A'C+CB＝AC+CB．

可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些．

这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段AA'的中垂线，所以AD=A'D。（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点确定一线，所以C点为最优。

将军饮马问题的应用拓展

如图，有A、B两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流的距离BE是3km，DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少，为多少？

解：如图所作，C点为水泵站的位置。

依题意，得：所铺设的水管长度就是AC+BC，即：A'C+BC=A'B的长度。

因为EF=A'D=AD=1km, 所以BF=BE+EF=4km

又A'F=DE=3km

在Rt△A'BF中，A'B^2=A'F^2+BF^2

所以：解得：A'B=5km

所以总费用为：5*1000*100=500000（元）