自从约翰·冯·诺伊曼和其他人在1940年代将博弈论带进数学领域后，有了新的数学工具能用以分析投票制度和投票的策略。这使得投票理论的领域产生重要的改变[2]。肯尼斯·约瑟夫·阿罗提出了阿罗不可能定理，证明在投票制度的评价里，有些标准其实是互相矛盾的，也证明了投票定理的固有限制。

阿罗不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）

1951年，阿罗出版了他的研究社会理论的重要著作《社会选择和个人价值》，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是——不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。

阿罗不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，早在十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。

甲（a ＞ b ＞ c）

乙（b ＞ c ＞ a）

丙（c ＞ a ＞ b）

注：甲（a ＞ b ＞ c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。此处各元素之间为偏序关系，由于偏序符号无法输入而用不等号代替。

若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（a ＞ b ）

乙（b ＞ a ）

丙（a ＞ b ）

社会次序偏好为（a ＞ b ）

若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（b ＞ c ）

乙（b ＞ c ）

丙（c ＞ b ）

社会次序偏好为（b ＞ c ）

若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（a ＞ c ）

乙（c ＞ a ）

丙（c ＞ a ）

社会次序偏好为（c ＞ a ）

于是我们得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。