在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

概念

性质

基本积分公式

证明方法

换元积分法

分部积分法

有理函数的积分

概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

性质

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；

2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，

基本积分公式

∫ a dx = ax + C,a和C都是常数

∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1

∫ 1/x dx = ln|x| + C

∫ a^x dx = (a^x)/lna + C,其中a > 0 且 a ≠ 1

∫ e^x dx = e^x + C

∫ cosx dx = sinx + C

∫ sinx dx = - cosx + C

∫ cotx dx = ln|sinx| + C

∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

∫ secx dx = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = ln|secx + tanx| + C

∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C

∫ sec^2(x) dx = tanx + C

∫ csc^2(x) dx = - cotx + C

∫ secxtanx dx = secx + C

∫ cscxcotx dx = - cscx + C

∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C

∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C

∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C

∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

∫ √(x^2 - a^2)dx=x/2√(x^2 - a^2)-a^2/2ln[x+√(x^2 - a^2)] + C

∫ √(x^2 +a^2)dx=x/2√(x^2 +a^2)+a^2/2ln[x+√(x^2 +a^2)] + C

∫ √(a^2 - x^2)dx=x/2√(a^2 - x^2)+a^2/2arcsin(x/a) + C

证明方法

全微分方程的不定积分解法及其证明

一个一阶微分方程写成

P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy = 0 ⑴

形式后，如果它的左端恰好是某一个函数u= u (x,y ) 的全微分：

du (x,y ) = P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy

那么方程⑴ 就叫做全微分方程。这里

5u

5x

= P (x,y ），

5u

5y

= Q (x,y )

方程⑴ 就是du (x,y ) = 0,其通解为：

u (x,y ) = C　(C 为常数）

可见，解全微分方程的关键在于求原函数u (x,y ）。因此，本文将提供一种求原函数u (x,y ) 的简捷

方法，并给出证明。

1　引入记号

为了表述方便，先引入记号如下：

设M (x,y ) 为一个含有变量x,y 项的二元函数，定义：

⑴“M (x

q

,y ) ”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量x 的项;

⑵“M (x,y

q

） ”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量y 的项；

注意： 常数项看作既不含变量x 也不含变量y 的项。

现举一例如下：

设：M (x,y ) = xy + x ey+ x

1- x

+ sinx+ co sx co sy + y 2+ 1

按记号定义有：

M (x

q

,y ) = M (x,y ) - (x y + x ey +

x

1 - x

+ sinx + co sx co sy ) = y 2 + 1

M (x,y

q

） = M (x,y ) - (x y + x ey + co sx co sy + y 2) =

x

1 - x

+ sinx + 1

2　u (x,y ) 的简捷求法

引理　设开区域G 是一个单连通域，函数P (x,y ),Q (x,y ) 在G 内具有一阶连续偏导数，则

P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy 在G 内为某一函数u (x,y ) 的全微分的充分必要条件是等式

5P

5y

=

5Q

5x

⑵

在G 内恒成立。

如果方程⑴ 左端满足⑵ 式，那以原函数

20　高等数学研究

STUD IES IN COLL EGEMA THEMA T ICS　Vo l15,No12

Jun.,2002

X 收稿日期： 2001—09—11。

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u (x,y ) =∫P (x,y

q

） dx +∫Q (x,y ) dy ⑶

或者　u (x,y ) =∫P (x,y ) dx + ∫Q (x

q

,y ) dy ⑷

3　证明

显然我们只需证明函数u (x,y ) 的全微分就是P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy。即只需证明

5u

5x

= P (x,y ），且

5u

5y

= Q (x,y )

这里先证明⑶ 式。

由于按记号定义P (x,y

q

） 中不含有自变量y 的项，不妨设：

P (x,y

q

） = f (x ),P (x,y ) - f (x ) = g (x,y )

代入⑶ 式得

u (x,y ) =∫f (x ) dx +∫Q (x,y ) dy ⑸

5u

5x

=

5∫f (x ) dx

5x

+

5∫Q (x,y ) dy

5x

= f (x ) +∫5 Q (x,y )

5x

dy ⑹

由引理知：

5P

5y

=

5Q

5x

∴

5Q

5x

=

5P

5y

=

5[P (x,y ) - f (x ) ]

5y

=

5g (x,y )

5y

将上式代入⑹ 式，得：

5u

5x

= f (x ) +∫5 Q (x,y )

5x

dy = f (x ) + g (x,y ) = P (x,y )

∴

5u

5x

= P (x,y )

另一方面，由⑸ 式得：

5u

5y

=

5∫f (x ) dx

5y

+

5∫Q (x,y ) dy

5y

= 0 + Q (x,y ) = Q (x,y )

∴

5u

5y

= Q (x,y ) 至此我们已经证明了⑶ 式。

同理可以证明⑷ 式。

4　应用举例

解微分方程： (2x co sy + y 2co sx ) dx + (2y sinx - x 2 siny ) dy = 0

解　∵

5Q

5x

= 2y co sx - 2x siny =

5P

5y

∴所以该方程为全微分方程。

原函数

u (x,y ) =∫P (x,y

q

） dx + ∫Q (x,y,) dy =

∫0õ dx + ∫(2y sinx - x 2 siny ) dy = y 2 sinx + x 2co sy

所以原方程的通解为：

y 2 sinx + x 2co sy = C

换元积分法

一、第一类换元法（凑微分法）

二、第二类换元法

第二类换元法的变换式必须可逆。

1.根式代换法

2.三角代换法

分部积分法

一、分部积分公式

设函数和 具有连续导数，则。移项得到

不定积分

两边积分，得 ⑴称公式⑴为分部积分公式．如果积分 易于求出，则左端积分式随之得到．为简易起见，把⑴写成下面的形式：

⑵

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v

一般来说， u,v 选取的原则是：

1)积分容易者选为v ⑵求导简单者选为u

分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数的积分

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．

理论上已证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。