在研究费尔马数的同时，人们又开始研究所谓广义费尔马数：Fn(x)=x^2^n+1 (n=0,1,2,...;x=1,2,3,...）

显然，Fn(2)就是费尔马数。80年代，美国和日本的数学家们利用电子计算机进行了大量研究，获得了一些成果。例如，当2=<x=<1000时，确定了

F0(x)=x+1 有167个素数

F1(x)=x^2+1 有111个素数

F2(x)=x^4+1 有110个素数

F3(x)=x^8+1 有40个素数

F4(x)=x^16+1 有48个素数

F5(x)=x^32+1 有22个素数

F6(x)=x^64+1 有8个素数

F7(x)=x^128+1 有7个素数

F8(x)=x^256+1 有4个素数

并且发现了九个300位以上的广义费尔马素数，它们是：F7(234)是304位，F7(506)是347位，F7(532)是349位，F7(548)是351位，F7(960)是382位。F8(278)是626位，F8(614)是714位，F8(892)是756位，F8(898)是757位。

关于广义费尔马数的未解决的问题有很多，例如，形如F1(x)=x^2+1的素数个数是无穷多个吗？

x的范围 素数x^2+1的个数

x=<10000 842

x=<100000 6656

x=<180000 11223

人们推测F1(x)有无穷多个素数，英国数学家哈代等人作了更精确的猜想：

不超过m的形如F1(x)=x^2+1的素数个数p(m)是：p(m)约=1.3727m^(1/2)/(lnm), 确切地说，当m趋于正无穷时，p(m)*lnm/m^(1/2)->c约=1.3727.但是未获得证明或推翻。