在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔·伯努利1738年发现的“伯努利定律”。这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了伯努利定律。飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面。这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了

简介：

方程式

定律假设

推论过程

历史

伯努利方程

伯努利家族

简介：

在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔·伯努利1738年发现的“伯努利定律”。

这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了伯努利定律。飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面。这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了。当然了，这个压力到底有多大，一个高深的流体力学公式“伯努利方程”会去计算它。

方程式

v=流动速度

g=地心加速度(地球)h=流体处于的高度(从某参考点计)

p=流体所受的压强

ρ=流体的密度

定律假设

1.非粘滞——流体无需抵抗与容器壁之间的粘滞力

2.不可压缩——气体因其可压缩性多不依循此定律；不可压缩性可维持密度不变

3.稳定——高速流动会导致紊流的出现

推论过程

设在右图的细管中有理想流体在做定常流动,且流动方向从左向右,我们在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体,即a1处和a2处之间的流体,作为研究对象.设a1处的横截面积为S1,流速为V1,高度为h1;a2处的横截面积为S2,流速为V2,高度为h2.

如图所示,经过很短的时间Δt,这段流体的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,两端移动的距离为ΔL1和ΔL2,左端流入的流体体积为ΔV1=S1ΔL1,右端流出的体积为ΔV2=S2ΔL2.

因为理想流体是不可压缩的,所以有

ΔV1=ΔV2=ΔV

作用于左端的力F1=p1S1对流体做的功为

W1=F1ΔL1=p1·S1ΔL1=p1ΔV

作用于右端的力F2=p2S2,它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向左,而这段流体的位移向右),所做的功为

W2=-F2ΔL2=-p2S2ΔL2=-p2ΔV

两侧外力对所选研究液体所做的总功为

W=W1+W2=(p1-p2)ΔV

又因为我们研究的是理想流体的定常流动,流体的密度ρ和各点的流速V没有改变,所以研究对象(初态是a1到a2之间的流体,末态是b1到b2之间的流体)的动能和重力势能都没有改变.这样,机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能,即

E2-E1=ρ()ΔV+ρg(h2-h1)ΔV

又理想流体没有粘滞性,流体在流动中机械能不会转化为内能

∴W=E2-E1

(p1-p2)ΔV=ρ(-))ΔV+ρg(h2-h1)ΔV

整理后得:整理后得:又a1和a2是在流体中任取的,所以上式可表述为上述两式就是伯努利方程.当流体水平流动时,或者高度的影响不显著时,伯努利方程可表达为该式的含义是:在流体的流动中,压强跟流速有关,流速V大的地方压强p小,流速V小的地方压强p大.

历史

伯努利开辟并命名了流体动力学这一学科，区分了流体静力学与动力学的不同概念。1738年，他发表了十年寒窗写成的《流体动力学》一书。他用流体的压强、密度和流速等作为描写流体运动的基本概念，引入了“势函数”“势能”（“位势提高”）来代替单纯用“活力’讨论，从而表述了关于理想流体稳定流动的伯努利方程，这实质上是机械能守恒定律的另一形式。他还用分子与器壁的碰撞来解释气体压强，并指出，只要温度不变，气体的压强总与密度成正，与体积成反比，用此解释了玻意耳定律。

伯努利方程

设在右图的细管中有理想流体在做定常流动,且流动方向从左向右,我们在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体,即a1处和a2处之间的流体,作为研究对象.设a1处的横截面积为S1,流速为V1,高度为h1;a2处的横截面积为S2,流速为V2,高度为h2.

思考下列问题:

①a1处左边的流体对研究对象的压力F1的大小及方向如何

②a2处右边的液体对研究对象的压力F2的大小及方向如何

③设经过一段时间Δt后(Δt很小),这段流体的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,两端移动的距离分别为ΔL1和ΔL2,则左端流入的流体体积和右端流出的液体体积各为多大 它们之间有什么关系 为什么

④求左右两端的力对所选研究对象做的功

⑤研究对象机械能是否发生变化 为什么

⑥液体在流动过程中,外力要对它做功,结合功能关系,外力所做的功与流体的机械能变化间有什么关系

推导过程:

如图所示,经过很短的时间Δt,这段流体的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,两端移动的距离为ΔL1和ΔL2,左端流入的流体体积为ΔV1=S1ΔL1,右端流出的体积为ΔV2=S2ΔL2.

因为理想流体是不可压缩的,所以有

ΔV1=ΔV2=ΔV

作用于左端的力F1=p1S2对流体做的功为

W1=F1ΔL1 =p1·S1ΔL1=p1ΔV

作用于右端的力F2=p2S2,它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向左,而这段流体的位移向右),所做的功为

W2=-F2ΔL2=-p2S2ΔL2=-p2ΔV

两侧外力对所选研究液体所做的总功为

W=W1+W2=(p1-p2)ΔV

又因为我们研究的是理想流体的定常流动,流体的密度ρ和各点的流速V没有改变,所以研究对象(初态是a1到a2之间的流体,末态是b1到b2之间的流体)的动能和重力势能都没有改变.这样,机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能,即

E2-E1=ρ()ΔV+ρg(h2-h1)ΔV

又理想流体没有粘滞性,流体在流动中机械能不会转化为内能

∴W=E2-E1

(p1-p2)ΔV=ρ(-))ΔV+ρg(h2-h1)ΔV

整理后得:整理后得:

又a1和a2是在流体中任取的,所以上式可表述为

上述两式就是伯努利方程。

当流体水平流动时,或者高度的影响不显著时,伯努利方程可表达为

该式的含义是:在流体的流动中,压强跟流速有关,流速V大的地方压强p小,流速V小的地方压强p大。

伯努利家族

又译作贝努利家族。17～18世纪瑞士的一个出过数理科学家多人的家族。其中较著名者谱系如下：雅各布·伯努利(JakobBernoulli,或JacquesBernoulli,或JamesBernoulli)1654年12月27日生于瑞士巴塞尔，1705年8月16日卒于巴塞尔。他在概率论、微分方程、无穷级数求和、变分方法等方面有贡献。数学分析中的伯努利数，概率论中的大数定律等都是以他名字命名的。他研究了柔链、薄片、风帆等在自重作用下的形状。1694年他指出拉伸试验中伸长量与拉伸力的□次幂成比例,□由实验确定。1729年C.D.比尔芬格(1693～1750)根据雅各布第一1687年的实验数据给出□为3/2。雅各布第一在1705年研究过细杆在轴向力作用下的弹性曲线问题。

约翰·伯努利（JohannBernoulli，或JeanBernoulli）1667年7月27日生于巴塞尔，1748年1月1日卒于巴塞尔。约翰对微分方程、变分方法等有贡献。曾对其兄雅各布第一关于悬链线（即柔链在自重作用下的平衡曲线）作过解释。1696年提出寻求能使质点从一已知点最快到达另一已知点的曲线问题，并给出这个问题的解，称所得曲线为“最速降线”。1728年他在研究弦的振动中已知道基本振型是正弦型的，但还不知道高阶振型的性质，1742年研究过双重摆(摆下挂一摆)大幅度摆动的微分方程。他一生中与同代科学家一百多人通信达两千多次，讨论了各种学术问题。著有《水力学》(1734)一书。

丹尼尔·伯努利(DanielBernoulli)1700年1月29日生于荷兰格罗宁根，1782年3月17日卒于格罗宁根。1726～1733年在俄国彼得堡科学院主持数学部。后任植物学、解剖学、自然哲学教授。丹尼尔第一·伯努利以《水动力学，关于流体中力和运动的说明》(1738)一书著称于世，书中提出流体力学的一个重要定理，反映了理想流体（不可压缩、不计粘性的流体）中能量守恒定律，这个定理和相应的公式后称为伯努利定理和伯努利公式。丹尼尔第一的固体力学论著很多。他对好友L.欧拉提出具体建议，使欧拉解出弹性压杆失稳后的形状，即获得弹性曲线的精确结果。1733～1734年他和欧拉在研究上端悬挂的重链的振动问题中用了贝塞耳函数，并在由若干个重质点串连成的离散模型的相应振动问题中引用了拉盖尔多项式。他在1735年获得悬臂梁振动方程。1742年提出弹性振动理论中的叠加原理，并用具体的振动实验进行验证，他还考虑过不对称浮体在液面上的晃动方程。

此外，丹尼尔第一之弟约翰第二（1710～1790）在1736年把光看作弹性介质中的压力波，导得微分方程并用级数求出它的解。他的儿子雅各布第二(1759～1789)在研究板的弯曲时把板当作两组互相正交的梁，并认为导出的四阶偏微分方程是近似的，只是作为解板问题的一种初步尝试予以发表(1789)。