Boltzmann equation 玻尔兹曼方程

（1）基本概念：

对于载流子的导电、导热等输运过程的分析，简单的方法就是采用所谓粒子平均运动的模型来处理。这能够得到载流子的各种输运参量，但是因为忽略了许多因素，故结果不太精确。

玻尔兹曼方程是经典粒子牛顿力学运动模型，和能态跃迁的量子力学模型相糅合的产物。如果忽略所有的相干效应，经过一定的简化，可以从量子输运模型中推导出玻尔兹曼方程。经典的输运理论建立在玻尔兹曼传输理论的基础上，玻尔兹曼理论的基本假设包括：

(i) 电子和空穴都是微小粒子；

(ii) 粒子之间各自独立，没有相干性，通过散射互相作用；

(iii) 粒子可以用Bloch理论描述；

(iv) 散射是一种瞬态行为，没有时间和空间上的持续性；

(v) 只考虑两个粒子之间的散射，不考虑多个粒子之间的共同作用。

（2）玻尔兹曼方程：

Boltzmann equation 又称为玻尔兹曼输运方程，它就是分布函数法中所采用的一种方程，即是非平衡分布函数f(k,r,t)所满足的一个方程，求解此方程可得到不同条件下的f(k,r,t)，然后即可求出电子的各种输运参量。

玻尔兹曼输运方程中考虑到了载流子的速度分布和散射的方向性，因此较为精确。

在有电场或温度梯度等外场的情况下，根据分布函数因电场、磁场、温度梯度等外场而引起的漂移变化以及因散射而引起的变化，即可建立起Boltamann方程，由于其中的散射项应是一个对散射几率的积分, 所以Boltamann方程是一个微分-积分方程。该方程的求解很复杂, 通常采用近似方法，常用的一种近似方法就是弛豫时间近似。

玻尔兹曼方程是一个高维的方程，三维波矢空间（k），三维实空间（r），再加上一维时间（t），难于求解，常用蒙特卡罗方法来模拟。

（3）局限性：

随着半导体器件进入纳米尺度，量子效应对器件性能的影响越来越重要，载流子的输运进入了量子输运的领域，这同时体现在空间和时间两个方面。一方面，位于费米能量的电子的德布罗易波长与器件的尺寸相比拟，电子的波动性更加明显；另一方面，电子在沟道中的输运时间动量和能量的弛豫时间相当，使得描述载流子散射的费米黄金定则的适用性受到局限。因此，对纳米尺度半导体器件，玻尔兹曼方程的适用性受到局限，载流子输运需要建立在量子力学理论框架上。