5-5 线性系统复频域分析法

下面以线性电路系统为例来研究线性系统的复频域分析方法。由于复频域形式的KCL,KVL，欧姆定律，在形式上与相量形式的KCL,KVL，欧姆定律全同，因此关于电路频域分析的各种方法(节点法、割集法、网孔法、回路法)、各种定理(齐次定理、叠加定理、等效电源定理、替代定理、互易定理等)以及电路的各种等效变换方法与原则，均适用于复频域电路的分析，只是此时必须在复频域中进行，所有电量用相应的像函数表示，各无源支路用复频域阻抗或复频域导纳代替，但相应的运算仍为复数运算。其一般步骤如下：

(1) 根据换路前的电路(即t＜0时的电路)求 时刻电感的初始电流 和电容的初始电压 ；

(2) 求电路激励(电源)的拉普拉斯变换(即像函数)；

(3) 画出换路后电路(即t＞0时的电路)的复频域电路模型；

(4) 应用节点法、割集法、网孔法、回路法及电路的各种等效变换、电路定理等，对复频域电路模型列写KCL，KVL方程组，并求解此方程组，从而求得全响应解的像函数；

(5) 对所求得的全响应解的像函数进行拉普拉斯反变换，即得时域中的全响应解，并画出其波形。

例5-11 图5-10(a)所示电路， , ， ，

， \\ 。求零输入响应 。

图5-10

解：因只求零输入响应，故应使激励源 ，进而可画出求零输入响应的s域电路模型，如图5-10(b)所示。故可列出两个独立节点的KCL方程为

将已知数据代入并整理求解，即得

查表5-2中序号12，13的公式，即得

例5-12 图5-11(a)所示电路， , ， , ， ， ， 。求全响应 。

图5-11

解：该电路的s域电路模型如图5-11(b)所示。其中 ， 。故可列出独立节点的KCL方程为

联立求解并化简，即得

故得

故得

例5-13 图5-12(a)所示电路，已知t＜0时K闭合，电路已工作于稳定状态。今于t=0时刻打开K，求t＞0时开关K两端的电压 。已知 , , , ， 。

解：因t＜0时K闭合，电路已工作于稳态，且电路中作用的是直流电压源Us，故此时电感L相当于短路，电容C相当于开路。故有

于是可作出t＞0时的复频域电路模型，如图5-12(b)所示，进而可写出网孔回路的KVL方程为

将已知数据代入并求解即得

又

故得

图5-12

例5-14 图513(a)所示电路，求零状态响应 。

图5-13

解：因有 ， ，故得复频域电路模型如图5-13(b)所示，进而可列出独立节点的KCL方程为

解之得

故得

例5-15 图5-14(a)所示电路。已知 , , , 。今于t=0时刻闭合K，求t＞0时的响应 , , , , ，并画出波形。

图5-14

解：t＞0时的s域电路模型如图5-14(b)所示，进而可列出独立节点的KCL方程为

代入数据解得

故得

又有

故

即

故

故得

又

故得

又

故得

可以验证有

。

也可以用以下方法求 , ,, , 。从图5-14(a)可看出有

故

其波形如图5-14(c),(d),(e)所示。可见 和 中出现了冲激，这是因为在电路的换路瞬间(即t=0时刻)， , ,上的电压 , 发生了突变。

例5-16 图5-15(a)所示电路。已知K打开时 ， , , 。今于t=0时刻闭合K。 求t＞0时的响应 , ，并画出波形。

解：K打开时的时域等效电路如图5-15(b)所示。 t＞0时的s域电路模型如图5-15(c)所示。

式中， 。

故得

又

其波形如图5-15(d),(e)所示。

图5-15

例5-17 图5-16(a)所示电路， 为响应。(1)、 求单位冲激响应 ；(2) 、求电路的初始状态 , ，以使电路的零输入响应 ; (3)、 求电路的初始状态 ， ，以使电路对 的全响应 仍为 。

解：(1) 、该电路在单位冲激 激励下的s域电路模型如图516(b)所示，其中 ， 。故得

经拉普拉斯反变换得

图5-16

(2)、 在零输入条件下电路的s域模型如图5-16(c)所示。故得

依题意要求，应使 ，即

故得

即

故有

故得 。

(3) 当激励 时， ，其s域电路模型如图5-16(d)所示。故得

按题意要求，应使 。即

故有

即

即

故有

故得 ， 。

例5-18 图5-17(a)所示电路，以 为响应。(1) 求单位冲激响应 ； (2) 已知 , ，求全响应 。

图5-17

解：(1)、 时的s域电路模型如图5-17(b)所示，其中 。故得

故得

(2) 、此时的s域电路模型如图5-17(c)所示。故得

故得

的波形如图5-17(d)所示。