词条 | 福琼猜想 |
释义 | 设p1,p2,p3,...pn是前n个素数,按照欧几里德的证明素数有无穷多的方法(这个方法可以在"反证法"这个词条中看到),取:En=p1p2...pn+1,也可取en=p1p2...pn-1,那么 En,en本身就可能是素数,这样的素数能有多少个?是否有无穷多?直到1995年4月,人们在pn<35000范围内,共发现了18个这样的pn:2,3,5,7,11,31,379,1019,1021,2657,3229,4547,4787,11549,13649,18523,23801,24029,使得En为素数。发现17个pn:3,5,11,41,89,317,337,991,1873,2053,2377,4093,4297,4583,6569,13033,15877,使得en为素数。 随着pn的增大,对应的En和en都迅速增大,例如对应pn=24029的En=2*3*5*7*...*24029+1,它是一个10387位数,高速电子计算机花费了4天的时间才确定是素数。而pn=15877对应的en=2*3*5*7*...15877-1是6845位数,计算机耗时近两天才确定它是素数。 设p是大于En的最小素数,福琼(R.F.Fortune)猜想:“Fn=p-En+1对于任意自然数n都是素数”。例如: E1=2+1=3,p=5,F1=5-3+1=3; E2=2*3+1=7,p=11,F2=11-7+1=5 E3=2*3*5+1=31,p=37,F3=37-31+1=7 E4=2*3*5*7+1=211,p=223,F4=223-211+1=13 E5=2*3*5*7*11+1=2311,p=2333,F5=2333-2311+1=23 E6=2*3*5*7*11*13+1=30031,p=30047,F6=30047-30031+1=17 ...... 接下来的n=7,8,9,...21时对应的Fn=19,23,37,61,67,61,71,107,59,61,109,89,103,79. 人们普遍认为福琼猜想是正确的,但是在短期内无法确定。受欧几里的证明的启发,后人又用Nn=n!+1或Mn=n!-1也一样能证明素数无穷多的论断。在n<4580范围内,人们发现了17个n值:1,2,3,11,27,37,41,73,77,116,154,320,340,399,427,872,1477,使Nn是素数。发现20个n值:3,4,6,7,12,14,30,32,33,38,94,166,324,379,469,546,974,1963,3507,3610使得Mn为素数。 那么,形如Nn=n!+1,Mn=n!-1的素数是否有无穷多个?这是人们关心的另一个问题。 |
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