动力学法测杨氏弹性模量 任一物体均有弹性。弹簧在弹性限度内，伸长量与其所受外力大小成正比，其倔强系数不仅与弹簧的材料有关，还与弹簧的形状和结构有关。而用杨氏弹性模量表示物体的弹性性质只与物体材料本身有关，与物体的形状和结构无关。动力学弹性模量测定法能准确反映材料在微小形变时的物理性能，测得值精确稳定，对脆性材料也能测定。

【实验目的】

1.分别测出标准铜棒和铁棒的共振频率并算出杨氏模量，和理论值进行比较。

2.尝试测量其他自制样品的杨氏模量。

【实验原理】

1.杆的弯曲振动基本方程

对一长杆作微小横振动时可建立如下方程

(1)

式中 为杨氏模量、 为转动惯量， 为密度。对两端自由的杆，其边界条件为：

；

用分离变数的试探解 ，以及上述边界条件带入(1)的超越方程

(2)

解这个超越方程，经数值计算得到前n个 的值是 ， ， ，n>2。

因振动频率 ，若取基频 ，可推导得

对圆棒 ，于是有

(3)

同理对 为宽度、 为厚度的矩形棒有

图1 二端自由杆基频弯曲振动波形 (4) 式中 为棒长；d为直径； 为共振频率，单位为Hz； 为质量；单位为kg；杨氏模量 的单位为 。

理论推导表明，杆的横振动节点与振动级次有关， 值第1、3、5 数值对应于对称形振动，第2、4、6 对应于反对称形振动。最低级次的对称振动波形如图1所示。

由表1可见，基频振动的理论节点位置为0.224 (另一端为0.776 )。理论上吊扎点因在节点，但节点处试样激发接受均困难。为此可在试样节点和端点之间选不同点吊扎，用外推法找出节点的共振频率。不作修正项，系统误差一般不大于0.2％。建议采用端点激发接收方式非常有利于测定。

表1 振动级次―节点位置－频率比

级次n　基频n＝1　一次谐波n＝2　二次谐波n＝3

节点数
节点位置　2
0.224
0.776 　3
0.132
0.502 0.868 　4
0.094 0.356
0.644 0.906

频率比　
　2.76 　5.40

注意(3)式是在d<<1时推出，否则要作修正， (修正)＝ (未修正)， 为修正系数。当材料泊松比为0.25时， 值如表2。

表2

径长比 　0.02　0.04　0.06　0.08　0.10

修正系数 　1.002　1.008　1.019　1.033　1.051

【实验仪器】

图2 测量装置

图2中1是函数信号发生器，本身带5位数字显示频率计。它发出的声频信号经换能器2转换为机械振动信号，该振动通过悬丝3传入试棒引起试棒4振动，试棒的振动情况通过悬丝3′传到接受换能器5转变为电信号进入示波器显示。调节函数信号发生器1的输出频率、如试样共振则能在示波器上看到最大值，此频率即试棒的共振频率。 【实验内容】

测定中，激发接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己的共振频率，都可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。因此，正确的判断示波器上显示的信号是否为试样真正共振信号成为关键。

1.测试前根据试样的材质、尺寸、质量通过(3)式或(4)式估算出共振频率的数值，先放在支撑架上，在上述频率附近进行寻找。

2.换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷(例如用力夹紧)，可使此共振信号变化或消失。

3.发生有共振时，迅速切断信号源，除试样共振会逐渐衰减外，其余假共振会很快消失。

4.试样发生共振需要一孕育过程，切断信号源后信号亦会逐渐衰减，它的共振峰有一定频宽，信号亦较强。试样共振时，可用一细金属丝沿纵向轻碰试样，这时会有波腹、波节出现。或用细硅胶粉撒在试样上可在波节处发生明显聚集，也可用听诊器沿试样纵向移动，能明显听出波腹处声音大，波节处声小。对一些细长杆状试样，有时能直接看到波腹和波节。

5.用打火机烧悬丝或试样处，属于悬丝共振能很快消失，属于试样共振频率会发生偏移。

6.在共振频率附近进行频率扫描时，共振频率附近两侧信号相位会有突然变化导致李萨如图形在Y轴左右明显摆动。不同谐波频率比服从表1规律。

7.如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，只能通过更换合格试样解决。

8.测试时尽可能采用较弱的信号激发，这样发生虚假信号的可能性较小。

9.用悬挂法吊扎必须牢靠，两根悬丝必须在通过试样直径的铅垂面上。

【注意事项】

静态拉伸法测定杨氏弹性模量和共振频率 的测量的方法以及铜和铁的杨氏弹性模量标准值，请参照《大学物理实验教程》(刘映栋等编)中的相关内容。

【思考题】

1.若材质不均匀或形状不规则，对实验会有什么影响？

2.与静力学法测杨氏弹性模量相比，动力学法有什么优点？