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词条 戴德金分割
释义

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

假设给定某种方法,把所有的有理数分为两个集合,A和B, A中的每一个元素都小于B中的每一个元素,任何一种分类方法称为有理数的一个分割

对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:

A有一个最大元素a,B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数,B是所有>1的有理数。 B有一个最小元素b,A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数。B是所有≥1的有理数。 A没有最大元素,B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数,零和平方小于2的正有理数,B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数,因为平方等于2的数不是有理数。注::A有最大元素a,且B有最小元素b是不可能的,因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中,与A和B的并集是所有的有理数矛盾。

第3种情况,戴德金称这个分割为定义了一个无理数,或者简单的说这个分割是一个无理数。

前面2种情况中,分割是有理数。

这样,所有可能的分割构成了数轴上的每一个点,既有有理数,又有无理数,统称实数。

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更新时间:2025/3/19 19:03:58