一、flick matrix 的定义与性质(1、定义 2、性质)

二、次初等矩阵的定义与性质(1、定义 2、性质)

一、flick matrix 的定义与性质

1、定义

0 0 … 0 1

0 0 … 1 0

记Q为〔 … … … … … 〕，则称Q 为flick matrix 又称翻跟头矩阵

0 1 … 0 0

1 0 … 0 0

2、性质

性质1 Ⅰ) Q^2 = E; Ⅱ) Q′= Q ; Ⅲ) | Q| = ( - 1)^[n(n-1)/2]

性质2 Q 的偶次幂为单位矩阵, Q 的奇次幂为它本身.

证明　Q^(2k) = ( Q^2)^k = E^k = E; Q^(2k+1) = Q^(2k)·Q = E·Q = Q.

性质3 设A = ( aij ) n ×n ,那么

Ⅰ) 若QA = B ;则bij = an - i + 1 , j ; Ⅱ) 若AQ = C;则cij = ai , n - j + 1

二、次初等矩阵的定义与性质

1、定义

定义：　由Q 经过一次初等变换得到的矩阵称为次初等矩阵。

I、将Q 中的i , j 两行(列)交换而得到Q ( i , j)

Ⅱ、将Q 的第i 行(列)乘上非零常数k 而得到Q ( i ( k) )

Ⅲ、将Q 的第i 行(列)加上第j 行(列)的k 倍而得到Q ( i , j ( k) )

2、性质

次初等矩阵都是方阵,且具有下面性质

性质1 Ⅰ) E( i , j) Q ( i , j) = Q ; Ⅱ) E ( i ( k) ) Q ( i ( k) ) = Q ( i ( k2 ) ) , Ⅲ) E ( i , j ( k) ) Q ( i , j ( k) ) = Q ( i , ( n - j + 1)(2 k) )

性质2 Ⅰ) Q ( i , j) = E( i , j) Q = QE ( i , n - j + 1) ; Ⅱ) Q ( i ( k) ) = E ( i ( k) ) Q = QE ( i ( k) ) ; Ⅲ) Q ( i , j ( k) ) = E ( i , j( k) ) Q = QE( i , n - j + 1)

性质3 设A 是m ×n 矩阵,则Q ( i , j) A 相当于交换QA 的i , j 两行. AQ ( i , j) 相当于交换AQ 的i , n - j + 1 两列. Q ( i( k) ) A 相当于QA 的第i 行乘以非零常数k . AQ ( i ( k) ) 相当于QA 的第i 列乘以非零常数k. Q ( i , j ( k) ) A 相当于把QA 的i行加上j 行的k 倍. AQ ( i , j ( k) ) 相当于把AQ 的n - j + 1 列加上i 列的k 倍

定理1 次初等矩阵都可逆,且有

Ⅰ) Q ( i , j) - 1 = Q ( i , n - j + 1) ; Ⅱ) Q ( i ( k) ) - 1 = Q ( i ( 1k) ) ; Ⅲ) Q ( i , j ( k) ) - 1 = Q ( i , ( n - j + 1) ( - k) )

证明　由定义及性质2 知

Ⅰ) Q ( i , j) ·Q ( i , n - j + 1) = E( i , j) Q·QE( i , j) = E( i , j) E·E ( i , j) = E ( i , j) E ( i , j) = E ,所以Q ( i , j) 可逆, Q ( i ,j) - 1 = Q ( i , n - j + 1)

Ⅱ) Q ( i ( k) ) Q ( i ( 1k) ) = E( i ( k) Q·QE ( i ( 1k) ) = E ( i ( k) ·E ( i ( 1k) ) = E , 所以Q ( i ( k) ) 可逆且Q ( i ( k) ) = Q ( i( 1k) )

Ⅲ) Q ( i , j ( k) ) ·Q ( i , ( n - j + 1) ( - k) ) = E ( i , j ( k) ) Q·QE( i , j ( - k) = E ( i , j ( k) ) ·E ( i , j ( - k) ) = E ,所以Q ( i , j( k) ) 可逆且Q ( i , j ( k) ) - 1 = Q ( i , ( n - j + 1) ( - k) )

定理2 次初等矩阵的转置矩阵也是次初等矩阵.

证明　Q ( i , j)′= Q ( i , n - j + 1) ; Q ( i ( k) )′= Q ( ( n - i + 1) ( k) ) Q ( i , j ( k) ) ,为把Q 的第j 列乘上k 倍加到第i 行上得到的初等矩阵. 所以转置都为次初等矩阵