注：区别于阿波罗尼奥斯对圆的研究

如右图，阿波罗尼奥斯圆谈论两个相关的圆圈家族。第一个家族的每一个蓝圆圈与第二个家族的每一个红圆圈相互正交。这些圆圈形成了双极坐标系的基。阿波罗尼奥斯圆是著名的希腊数学家阿波罗尼奥斯 (Ἀπολλώνιος) 发现的。

阿波罗尼奥斯圆圈可以由线段定义的，标记此线段为 。第一个家族的任何一个蓝圆圈 Bk 所包含的每一点 Pk，离点 C 与点 D 的距离呈固定比例 k >0：cpk:dpk=k.

不一样圆圈的固定比例 必不一样。圆圈与圆圈之间互不同心，互不相交。

每一个蓝圆圈与每一个红圆圈的直角相交，可以简易地解释如下：关于一个圆心为点 C 的圆圈 Q ，一家族的蓝阿波罗尼奥斯圆圈的反演，造成了一组同心圆，其圆心在点 D' 。点 D 关于圆圈 Q 的反演是点 D' 。同样地运算将一家族的红圆圈 反演为一组从点 D' 放射出来的直线。这样，反演将双极座标变换为极座标。在极座标里，每一条径向线与 圆心为原点的圆圈 以直角相交。由于反演是一个共形变换，所以，每一个蓝圆圈与每一个红圆圈以直角相交。