词条 | 柏拉图体 |
释义 | 1.说明柏拉图体即为正多面体。 2.定义定义: 如果一个多面体的所有面都是全等正多边形,所有多面角也全等,我们就说它是正多面体(柏拉图体)。 有无限多种正多边形,而正多面体只有五种。正多面体根据面的数目来命名,也就是: 4个正三角形的正4面体; 6个正方形的正6面体(立方体); 8个正三角形的正8面体; 12个正五边形的正12面体; 20个正三角形的正20面体。 3.发展史正多面体发源史已消失在过去的烟云里。欧几里德《原本》第八卷才开始用数学的眼光看它们。第一卷的第一个注释指出,本卷“将处理所谓的柏拉图体,那名称实在是错了。因为其中的三种,正4面体,立方体,正12面体来自毕达格拉斯学派,而正8面体和正20面体来自泰阿泰德(Theaeteus)。”事实也许真是这样。 不管怎么说,柏拉图描绘了5种正多面体。他在《蒂迈欧篇》里讲了如何拿正三角形,正方形和正五边形来构造正多面体的面。柏拉图的蒂迈欧(Timaeus),就是毕达格拉斯门下的洛克里的蒂迈欧。柏拉图大概在访问意大利时见过他。在柏拉图的作品里,蒂迈欧神秘地将4种易构造的多面体:正4面体,正6面体,正8面体,正20面体,配给恩培多克勒(Empedocles)的一切物质的四种基本“元素”:火气水土。剩下的正20面体,就特意拿它来联系包围我们的宇宙。 4.柏拉图体的特性1)内接于同一个球的正12面体的体积大于正20面体的体积,立方体的体积大于正八面体的体积。 2)内接于同一个球的正12面体和正20面体具有这共同的内接球,立方体和正八面体也有共同的内接球。 3)如果正12面体,正20面体和立方体内接于同一个球,那么正12面体的体积与正20面体的体积之比,等于立方体边长与正20面体的边长之比。 4)如果正12面体与正20面体内接于同一个球,那么二者体积之比等于表面积之比。 5)内接于同一个球的正12面体和正20面体具有相等的表面周长。 5.柏拉图体只有5种的证明顶点数V,面数F,棱数E 设正多面体的每个面是正n边形,每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半(每两面共用一条 棱),即 nF=2E -------------- ① 同时,E应是顶点数V与m的积的一半,即 mV=2E -------------- ② 由①、②,得 F=2E/n, V=2E/m, 代入欧拉公式V+F-E=2, 有2E/m+2E/n-E=2 整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E. 由于E是正整数,所以1/E>0。因此 1/m+1/n>1/2 -------------- ③ 说明m,n不能同时大于3,否则③不成立。另一方面,由于m和n的意义(正多面体一个顶点处的棱数与多 边形的边数)知,m≥3且n≥3。因此m和n至少有一个等于3 当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5 同理n=3,m也只能是3,4,5 所以有以下几种情况: n m 类型 3 3 正四面体 4 3 正六面体 3 4 正八面体 5 3 正十二面体 3 5 正二十面体 由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体 所以正多面体只有5种 6.柏拉图体展开图柏拉图体展开图: |
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