1.说明

2.定义

3.发展史

4.柏拉图体的特性

5.柏拉图体只有5种的证明

6.柏拉图体展开图

1.说明

柏拉图体即为正多面体。

2.定义

定义：

如果一个多面体的所有面都是全等正多边形，所有多面角也全等，我们就说它是正多面体（柏拉图体）。

有无限多种正多边形，而正多面体只有五种。正多面体根据面的数目来命名，也就是：

4个正三角形的正4面体；

6个正方形的正6面体（立方体）；

8个正三角形的正8面体；

12个正五边形的正12面体；

20个正三角形的正20面体。

3.发展史

正多面体发源史已消失在过去的烟云里。欧几里德《原本》第八卷才开始用数学的眼光看它们。第一卷的第一个注释指出，本卷“将处理所谓的柏拉图体，那名称实在是错了。因为其中的三种，正4面体，立方体，正12面体来自毕达格拉斯学派，而正8面体和正20面体来自泰阿泰德（Theaeteus）。”事实也许真是这样。

不管怎么说，柏拉图描绘了5种正多面体。他在《蒂迈欧篇》里讲了如何拿正三角形，正方形和正五边形来构造正多面体的面。柏拉图的蒂迈欧（Timaeus），就是毕达格拉斯门下的洛克里的蒂迈欧。柏拉图大概在访问意大利时见过他。在柏拉图的作品里，蒂迈欧神秘地将4种易构造的多面体：正4面体，正6面体，正8面体，正20面体，配给恩培多克勒（Empedocles）的一切物质的四种基本“元素”：火气水土。剩下的正20面体，就特意拿它来联系包围我们的宇宙。

4.柏拉图体的特性

1）内接于同一个球的正12面体的体积大于正20面体的体积，立方体的体积大于正八面体的体积。

2）内接于同一个球的正12面体和正20面体具有这共同的内接球，立方体和正八面体也有共同的内接球。

3）如果正12面体，正20面体和立方体内接于同一个球，那么正12面体的体积与正20面体的体积之比，等于立方体边长与正20面体的边长之比。

4）如果正12面体与正20面体内接于同一个球，那么二者体积之比等于表面积之比。

5）内接于同一个球的正12面体和正20面体具有相等的表面周长。

5.柏拉图体只有5种的证明

顶点数V，面数F，棱数E

设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条　棱），即

nF=2E -------------- ①

同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即

mV=2E -------------- ②

由①、②，得

F=2E/n, V=2E/m,

代入欧拉公式V+F-E=2，

有2E/m+2E/n-E=2

整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.

由于E是正整数，所以1/E>0。因此

1/m+1/n>1/2 -------------- ③

说明m,n不能同时大于3，否则③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多　边形的边数）知，m≥3且n≥3。因此m和n至少有一个等于3

当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5

同理n=3，m也只能是3，4，5

所以有以下几种情况：

n　m　类型

3　3　正四面体

4　3　正六面体

3　4　正八面体

5　3　正十二面体

3　5　正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体

所以正多面体只有5种

6.柏拉图体展开图

柏拉图体展开图：