定义

性质

和内心坐标的关系

定义

虽然我们经常在3D中使用三角形，但三角形却是一个天生的2D物体，使用3D中任意朝向的三角形是一件很烦恼的事。重心坐标是对这个问题的一种巧妙解决方法，它是一种与三角形表面相关联，与其3D坐标空间不相关的坐标。

显然，三角形所在平面的任意点都能表示为顶点的加权平均值，这个权就叫做重心坐标。从重心坐标到标准坐标的转换为（无论2D或3D，连4D、5D也是这样）：

(b1,b2,b3) ＜=＞ b1v1+b2v2+b3v3

式中：b1,b2,b3——重心坐标的分量

v1,v2,v3——三角形的顶点坐标

注意b1+b2+b3=1，所以实际上只有两个自由度，空间仍是2D的。

实际上，重心坐标能表示三角形所在平面所有的点，但三角形外的点坐标至少有一个为负。

对三角形内的点，计算重心坐标的方法如图所示：（图上不太清楚，红绿蓝分别为T1,T2,T3,大三角面积为T）

b1=T1/T，b2=T2/T，b3=T3/T。

对三角形外的点这仍适用，不过点落在一条边外时，此边上三角形面积取负数。

性质

重心坐标具有良好的仿射特征，对于简单比有很好的刻画。

所以可以在三角形ABC的三个顶点分别放质量为(x,y,z)的小球，用质心可以很好的描述平面中点的位置。

结合力学与平面几何塞瓦定理可得：

设P(x,y,z)为平面上一点，AP交BC于D，BP交AC于E，CP交AB于F，AF/FB=y/x，BD/DC=z/y，CG/GA=x/z。

三点共线的充要条件是三点重心坐标组成的3阶行列式的值=0。

和内心坐标的关系

若三角形ABC所在平面中一个点的重心坐标P(x,y,z)，定义其内心坐标为P(x/a,y/b,z/c)，其中a、b、c为A、B、C对边边长。

内心坐标是用P到三角形ABC三边距离之比来刻画P点的位置。

三点共线的充要条件是内心坐标坐标组成的3阶行列式的值=0。