指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R). 它是初等函数中的一种。它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。

数学术语

公式推导

函数图像

幂的比较

定义域

值域

化简技巧

对应关系

数学术语

指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 e，这里的 e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。

当a>1时，指数函数对于 x的负数值非常平坦，对于 x的正数值迅速攀升，在 x等于 0 的时候等于 1。当0<a<1时，指数函数对于 x的负数值迅速攀升，对于 x的正数值非常平坦，在 x等于 0 的时候等于 1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识：d（a^x）/dx=a^x*ln(a)。

作为实数变量 x的函数，y=e^x 的图像总是正的(在 x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及 x轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数 x上。

有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如 kax 的函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数 e 的指数函数。

指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数y=a^x中可以看到：

（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，

同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3） 函数图形都是下凸的。

（4） a大于1时，则指数函数单调递增；若a小于1大于0，则为单调递减的。

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)

（8） 显然指数函数无界。

（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。

公式推导

e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...

设a>0,a!=1----(log a(x))'

=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)

=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))

=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))

=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))

=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))

=1/x*log a(e)特殊地，

当a=e时，

(log a(x))'=(ln x)'=1/x。

设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x

导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地，

当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

函数图像

（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）》。

幂的比较

比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1。

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：

<1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，a^x大于1，异向时a^x小于1.

〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.

⑴y=4^x

因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；

⑵y=(1/4)^x

因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数

定义域

指代一切实数（-∞，+∞），就是R。

值域

对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0。所以值域为（0,+∞)。a=1是也可以，此时值域恒为1。

化简技巧

（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分

（2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母

（3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破.（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化

对应关系

（1）曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）。

（2）曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）

（3）曲线过定点（0，1）〈=〉x=0时，函数值y=a^0（零次方）=1（a>0且a≠1）

（4）a>1时，曲线由左向右逐渐上升即a>1时，函数在（-∞，+∞）上是增函数；0<a<1时，曲线逐渐下降即0<a<1时，函数在（-∞，+∞）上是减函数。