定义(数学术语 锐角正弦函数的定义 定义与定理)

性质(图像 定义域 值域 最值和零点 对称性 周期性 奇偶性 单调性)

正弦型函数及其性质(诱导公式 符号、单调性 四则运算)

定义

数学术语

正弦函数是三角函数的一种.

锐角正弦函数的定义

在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b

正弦函数就是sin A=a/c，即sin A=BC/AB.

定义与定理

定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sin x，叫做正弦函数。

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a/sin A=b/sin B=c/sin C

在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√(x^2+y^2)

性质

图像

图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出）， 叫做正弦曲线(sine curve)

定义域

实数集R

值域

[-1，1] （正弦函数有界性的体现）

最值和零点

①最大值：当x=2kπ+(π/2) ，k∈Z时，y(max)=1

②最小值：当x=2kπ+(3π/2)，k∈Z时，y(min)=-1

零值点： (kπ,0) ，k∈Z

对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形。

1)对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ，k∈Z对称

2)中心对称：关于点(kπ,0)，k∈Z对称

周期性

最小正周期：y=Asin(ωx+φ) T=2π/|ω|

奇偶性

奇函数 (其图象关于原点对称)

单调性

在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.

在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.

正弦型函数及其性质

正弦型函数解析式：y=Asin(ωx+φ)+h

各常数值对函数图像的影响：

φ(初相位)：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）

ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）

A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）

h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）

作图方法运用“五点法”作图

“五点作图法”即取ωx+θ当分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 y坐标等于 sin θ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度 1，所以有了 sin θ = y/1 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。即sin θ=AB,与y轴正方向一样时正，否则为负对于大于 2π 或小于 0 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为 2π的周期函数 。

诱导公式

　sin　cos　tαn　cot　sec　csc

90-α　cos　sec　cot　tαn　csc　sec

90+α　cos　-sin　-cot　-tαn　-csc　sec

180-α　sin　-cos　-tαn　-cot　-sec　csc

180+α　-sin　-cos　tαn　cot　-sec　-csc

270-α　-cos　-sin　cot　tαn　-csc　-sec

270+α　-cos　sin　-cot　-tαn　csc　-sec

360-α　-sin　cos　-tαn　-cot　sec　-csc

360k+α　sin　cos　tαn　cot　sec　csc

符号、单调性

　1　2　3　4　x+　y+　x-　y-

sin　+，+　+，-　-，-　-，+　0　1　0　-1

cos　+，-　-，-　-，+　+，+　1　0　-1　0

tαn　+，+　-，+　+，+　-，+　0　+1/0-　0　+1/0-

cot　+，-　-，-　+，-　-，-　-1/0+　0　-1/0+　0

sec　+，+　-，+　-，-　+，-　1　+1/0-　-1　-1/0+

csc　+，-　+，+　-，+　-，-　-1/0+　1　+1/0-　-1注：1/0表示不存在，+1/0=1/0+=+∞,1/0-=-1/0=-∞，左边的符号是左趋近，右边的符号是右趋近，第一个是符号，第二个是单调性

四则运算

sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β

sin2α=2sin αcos α

sin(α+2kπ）=sin α

sin(-α)=-sin α

sin(π-α)=sin α

sin(π/2-α)=cos α

sin α=cos(π/2-α)

sin(π+α)=-sin α

sin(3π/2-α)=-cos α

sin(3π/2+α)=-cos α