概念

应用

概念

巴普斯定理 :

1、在一平面上取任一闭合区域，使它沿垂直于该区域的平面运动形成一个立体，那么这个立体图形的体积就等于质心所经路程乘以区域面积。

2、如果令某一长为L的曲线段沿着垂直于它所在平面的方向移动一段距离r，那么L,r与线段扫过的面积S存在关系：S=rL。

应用

巴普斯定理1的应用一：

巴普斯定理用来求平面图形的质心是十分方便的，例如下面这个例子：

求半圆面质心。

令半圆面绕着它的直径旋转形成一个球体，假设半圆面的半径为R，那么它的面积即为S=πR^2/2，所得球体体积为V=4πR^3/3，又设质心离半圆面的圆心距离为X，则质心旋转一周经过的路程为L=2πX，由巴普斯定理得V=SL，所以X=4R/3π.

类似地，我们也可以求得三角形或其他平面几何图形的质心。

巴普斯定理2的应用二：

当然，巴普斯定理既然可以利用平面图形旋转后的体积来求质心，那么它也可以利用质心位置来求旋转体的体积。 例：

求圆锥体体积：

圆锥是由一个直角三角形绕直角边旋转得来的，所以它的体积等于三角形的质心到直角边的距离乘以直角三角形的面积，而三角形质心到直角边的距离又是直角边上高的1/3，于是体积的计算就十分简单了。

类似地，我们也可以求得圆环体等的体积。

巴普斯定理2的应用：

1、圆面积公式的又一证法：

将长为R的线段OP绕过O点且垂直于该线段的轴旋转一周即得到半径为R的圆O，质心经过路程为 2π*（1/2)R=πR，所以S=πR*R=πR^2。

2、3、圆环体表面积

圆心O距中心轴M的长度为R，圆O半径为r，则圆O周长为2πr，将它沿垂直于其所在平面的方向绕M轴一周后质心O移动路程2πR，所以旋转得到的空心圆环体的表面积为2πr*2πR=4π^2Rr。