约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

例子

链表方法

Josephus(约瑟夫)问题的非递归方法

Josephus(约瑟夫)问题的数学方法(C语言模拟 约瑟夫环 C#描述)

例子

n = 9, k = 1, m = 5

【解答】

出局人的顺序为5, 1, 7, 4, 3, 6, 9, 2, 8。

链表方法

这个就是约瑟夫环问题的实际场景，有一种是要通过输入n,m,k三个正整数，来求出列的序列。这个问题采用的是典型的循环链表的数据结构，就是将一个链表的尾元素指针指向队首元素。 p->link=head

解决问题的核心步骤：（程序的基本算法）

1.建立一个具有n个链结点，无头结点的循环链表；

2.确定第1个报数人的位置；

3.不断地从链表中删除链结点，直到链表为空。

void JOSEPHUS(int n,int k,int m) //n为总人数，k为第一个开始报数的人，m为出列者喊到的数

{

/* p为当前结点 r为辅助结点，指向p的前驱结点 list为头节点*/

LinkList p,r,list; /*建立循环链表*/

for(int i=0；i<n；i++)

{

p=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));

p->data=i;

if(list==NULL)

list=p;

else

r->link=p;

r=p;

}

p->link=list; /*使链表循环起来*/

p=list;　/*使p指向头节点*/

/*把当前指针移动到第一个报数的人*/

for(i=0;i<k;i++)

{

r=p；

p=p->link;

}

/*循环地删除队列结点*/

while(p->link!=p)

{

for(i=0;i<m-1;i++)

{

r=p;

p=p->link;

}

r->link=p->link;

printf("被删除的元素：%4d ",p->data);

free(p);

p=r->link;

}

printf("\最后被删除的元素是：%4d",P->data);

}

Josephus(约瑟夫)问题的非递归方法

首先我们列出一些有关约瑟夫环的结果：

1 1 2 2 3 2 4 1 5 4 6 1 7 4 8 7 9 1 10 4

11 7 12 10 13 13 14 2 15 5 16 8 17 11 18 14 19 17 20 2021 2 22 5 23 8 24 11 25 14 26 17 27 20 28 23 29 26 30 29

31 1 32 4 33 7 34 10 35 13 36 16 37 19 38 22 39 25 40 28

41 31 42 34 43 37 44 40 45 43 46 46 47 2 48 5 49 8 50 11

51 14 52 17 53 20 54 23 55 26 56 29 57 32 58 35 59 38 60 41

61 44 62 47 63 50 64 53 65 56 66 59 67 62 68 65 69 68 70 171 4 72 7 73 10 74 13 75 16 76 19 77 22 78 25 79 28 80 31

81 34 82 37 83 40 84 43 85 46 86 49 87 52 88 55 89 58 90 61

91 64 92 67 93 70 94 73 95 76 96 79 97 82 98 85 99 88 100 91

意思是，前一个数为约瑟夫环的人数，后一个数为最后出去的人的号码。

从上面的表中我们可以归纳出以下两个规则：

规则1:若上一组数字中最后保留号比人数少一，则下一数从1开始记。

例如第三组（3,2）为上一组，最后保留好为2，比3少1，下一组的数字（4,1），最后保留号为1

规则2:若上一组数字为最后保留号与人数相等，则下一数从2开始记。

以下是C语言编写的程序。

#include <stdio.h>

#define M 200

int main()

{

int temp=0;

int b=1,k=0;

for(int i=1;i<=M;i++)

{

temp=b+3*k;

if(i==temp)//规则2:若上一组数字为最后保留号与人数相等，则下一数从2开始记。

{

b=2;

k=0;

continue;

}

else if(i-temp==1)//规则1:若上一组数字为最后保留号比人数少一，则下一数从1开始记。

{

b=1;

k=0;

continue;

}

k++;

}

printf("%d %d ",M,temp);

return 0;

}

Josephus(约瑟夫)问题的数学方法

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到m-1的退出

，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-3 --> n-3

k-2 --> n-2

序列1： 0, 1, 2, 3 … n-2, n-1

序列2： 0, 1, 2, 3 … k-2, k, …, n-2, n-1

序列3： k, k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, 1, 2, 3,…, k-2,

序列4：0, 1, 2, 3 …, 5, 6, 7, 8, …, n-3, n-2

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

∵ k=m%n;

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

得到 x‘=(x+m)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

递推公式:

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。我们输出f[n]由于是逐级递推，不需要保存每个，程序也是异常简单：(注意编号是0 -- n-1)

#include <stdio.h>

int main(void)

{

int n, m, i, s=0;

printf ("N M = ");

scanf("%d%d", &n, &m);

for (i=2; i<=n; i++)

s=(s+m)%i;

printf ("The winner is %d\", s);

return 0 ;

}

时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

参照上面提供的思路，我认为可以类似的得到一个更易于明白的方法，设有（1,2,3，……，k-1，k，k+1，……，n）n个数，当k出列时，那么有

k+1 -->1

k+2 -->2

...

...

n -->n-k

1 -->n-k+1

...

...

k-1 -->n-1

由上面一组式子可以推出，若知道新产生的n-1个数中某个数x，那么很显然可以推出x在原数列里的位置，即x‘=（x+k）%n,由此，我们可以得到一个递推公式

f[1]=1

f[n]=(f[n-1]+k)%n （n>1）

如果你认为上式可以推出约瑟夫环问题的解，很不幸，你错了，上面的递推公式中，在某种情况下，f[n-1]+k会整除n，如n=2，k=3，这时我们修要对上式进行修正，

f[n]=(f[n-1]+k)%n;if(f[n]==0)f[n]=n;

问题得解。 程序代码如下：

#include<stdio.h>

int main()

{

int n,k,s=1;

scanf("%d%d",&n,&k);

for(int i=2;i<=n;i+=1)

{

s=(s+k)%i;

if(s==0)s=i;

}

printf("ans=%d\",s);

return 0;

}

当然，我们还可以用递归方法解决此问题：

#include<stdio.h>

int main()

{

int jos(int n,int k);

int n,k,s;

scanf("%d%d",&n,&k);

s=jos(n,k);

printf("ans=%d\",s);

return 0;

}

int jos(int n,int k)

{

int x;

if(n==1)x=1;

else {x=(jos(n-1,k)+k)%n;if(x==0)x=n;}

return x;

}

解决Josephus(约瑟夫)问题的pascal代码

program Josephus(input,output);

type pointer=^nodetype;

nodetype=record

data:integer;

link:pointer

end;

var head,next,last:pointer;

i,n,s,j,m,k:integer;

begin

writeln('请输入组成约瑟夫环的人数：');

read(n);

new(head);

head^.data :=1;

last:=head;

for i:=2 to n do

begin

new(next);

next^.data :=i;

last^.link :=next;

last:=next

end;

last^.link :=head;

next:=head;

repeat

begin

writeln(next^.data );

next:=next^.link

end;

until next=head;

readln;

next:=head;

writeln('请输入第一个报数人的位置:');

read(s);

j:=1;

if s<=n

then

while j<s do

begin

next:=next^.link ;

j:=j+1

end

else writeln('你的输入有误');

writeln('请输入出列人的位置:');

read(m);

while next^.link <>next do

begin

k:=1;

while k<m do

begin

last:=next;

next:=next^.link ;

k:=k+1

end;

writeln(next^.data );

last^.link :=next.link ;

next:=next^.link

end;

writeln(next^.data );

readln;

readln

end.

C语言模拟 约瑟夫环

#include <stdio.h>

#define M 10/*总人数*/

#define N 5

#define START 0/*第一个报数的人*/

void main(void)

{

int a[M],i=0,k,count=0;

while(i++<M)/*给每个人编号*/

a[i-1]=i;

for(i=START;count<=M-1;count++)

{

for(k=1;k<=N;a[i++]&&++k)/*根据&&运算的路短原理，若a[i]为0的话，++k的运算会被省略而++i的运算总会进行*/

if(i>M-1)

i=0;

printf("%d ",i?a[i-1]:a[M-1]);

a[(i?(i-1):(M-1))]=0;

}

getch();

}

C#描述

///<summary>约瑟夫环</summary>

/// <remarks>Program by nickelzhang</remarks>

static void Main(string[] args)

{

/*

*已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。

*从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；

*他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；

*依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

*/

int n = 7;

int k = 2;

int m = 3;

Link head = new Link() { Value = "1" };

Link node = head;

for (int i = 2; i <= n; i++)

{

node.Next = new Link();

node = node.Next;

node.Value = i.ToString();

}

node.Next = head;

//循环链表建立完毕

Link cur = head;

//指针移动到第K个人

for (int i = 1; i < k; i++)

{

cur = cur.Next;

}

//开始报数

do

{

for (int i = 1; i < m - 1; i++)

{

cur = cur.Next;

}

Console.WriteLine(cur.Next.Value);

cur.Next = cur.Next.Next;//删除第m个人

cur = cur.Next;//指针指向m+1

} while (cur != cur.Next);//仅剩下一个人，报数结束

Console.WriteLine(cur.Value);

}

/// <summary>

/// 循环链表节点

/// </summary>

public class Link

{

public string Value;

public Link Next;

}

Java递归实现

import java.util.LinkedList;

/**

*

* @author Love yali_deng forever

*

*/

public class Yuesefu {

/**

* 约瑟夫环是一个数学的应用问题：

*

* 已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个

*人出 列；

* 他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

*

* @param args

*/

private static StringBuffer removedStr = new StringBuffer("");// 记录出列的数字

public static void main(String[] args) {

long startTime = System.currentTimeMillis(); // 获取开始时间

process(5000, 10, 1);

System.out.println(removedStr.substring(0, removedStr.length() - 1));

long endTime = System.currentTimeMillis(); // 获取结束时间

System.out.println("程序运行时间： " + (endTime - startTime) + "ms");

}

public static void process(int n, int k, int m) {

// 构建一个list，存放人数

LinkedList<Integer> list = new LinkedList<Integer>();

for (int i = 0; i < n; i++) {

if (i + k > n) {

list.add(i + k - n);

} else {

list.add(i + k);

}

}

int count = 1;// 记录数的人数

cycleCal(list, count, m);

}

public static void cycleCal(LinkedList<Integer> list, int count, int m) {

int len = list.size();

if (len > 1) {

for (int i = 0; i < len; i++) {

if (count == m) {// 第m个时，remove

removedStr.append(list.get(i)).append(",");

list.remove(i);

len = list.size();

i--;

count = 0;

}

count++;

}

cycleCal(list, count, m);

} else {

if (len != 0) {

removedStr.append(list.get(0)).append(",");

}

}

}

}

Common Lisp递归实现

(defun josephus-main ()

(let ((lt (make-array 20 :fill-pointer 0)))

(dotimes (var 20)

(vector-push var lt))

(josephus-loop lt)))

(defun josephus-loop(lt)

(if (= (length lt) 1)

(progn

(format t "~a~%" lt)

(return-from josephus-loop)))

(if (>= (length lt) 5)

(progn

(let ((setv (remove (elt lt 4) lt)))

(josephus-loop setv)))

(progn

(let ((setv (remove (elt lt (if (= (length lt) (- 4 (length lt))) (- 4 (length lt) 1) (- 4 (length lt)))) lt)))

(josephus-loop setv)))))