证明

圆周角推论(特殊圆周角 等弧所对圆周角相等)

数学术语

圆周角

定义

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角

圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

证明

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.

证明：

情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：∵OA、OC是半径

∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△OAC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半径

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D

∵OA、OB、OC、是半径

∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

∵∠BAC=∠CAD-∠BAD

∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

圆周角推论

特殊圆周角

1: 半圆(弧)和直径所对圆周角是90°.

90°圆周角所对弦是直径.

(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)

等弧所对圆周角相等

圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.

同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.

命题1: 在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与

点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C

(图略,证明:三角形一外角等于不相邻两内角和.)

命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.

顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.

(图略,证明略)