| 词条 | 圆外蝴蝶定理 |
| 释义 | 百科名片圆外蝴蝶定理其实是一个没有正式规定的定理，它是由蝴蝶定理衍生出的一个概念，且与蝴蝶定理有着相当大的联系，它的定义是这样的：如图，延长圆O中两条弦AB与DC交于一点P，过P做OP垂线，垂线与DB和AC的延长线交于E、F，则可得出PE=PF 并且还可以扩展为：若延长CB和AD，与垂线EF分别交于M、N，则可得出PM=PN，巧合的是，这种扩展在蝴蝶定理中也成立 而将由已知垂直证明线段相等反过来，即已知线段相等，证明垂直依然可行 简介衍生原理如图，左边的是圆内蝴蝶定理，右边的是圆外蝴蝶定理，我们可以推理，一条直线L进过圆O内部，过O且垂直于直线L的直线h，P为垂足，圆内两条弦AB、CD交于P，CB与AD所在直线交直线L于M、N，CA和BD所在直线交直线L于E、F，当直线L以垂线h方向向圆外移动，至直线L不与圆相交时，垂足兼交点的P移动到圆外，就形成了右边的圆外蝴蝶定理，且得出的结论与圆内蝴蝶定理完全一样：PM=PN，PE=PF 相同点同样拥有蝴蝶一样的形状，在解法上，几乎一模一样，目前解决圆外蝴蝶定理的正向证明有很多，其中在蝴蝶定理与圆外蝴蝶定理通用的解法有：过圆心做垂直，利用垂弦定理，相似三角形，四点共圆，全等；另外一种则是不用圆心，直接做平行，导圆周角，四点共圆。而在解决逆向证明的时候，前者没有“对偶解法”则会失效，而后者的“对偶解法”——做对称三角形，则与做平行线成了两种解决一切圆有关的蝴蝶定理正、逆向证明以及其扩展形式的通用对偶解法。 对比与证明正向证明——做平行线如图（1）圆内蝴蝶定理的证明，已知P为弦EF中点，求证PM=PN 解：辅助线：过D点做MN的平行线，交圆O于Q，连接PQ，QN，BQ ∵DQ∥MN，P为EF中点 ∴易证PD=PQ ∴∠PDQ=∠QPN 又∵∠CDQ+∠CBQ=180° ∴∠NPQ+∠NBQ=180° ∴P、N、B、Q四点共圆 ∴∠CBA=∠NQP=∠MDP ∵∠MPD=∠NPQ，PD=PQ，∠PDM=∠PQN ∴△PDM≌△PQN（ASA） ∴PM=PN 如图（2）圆外蝴蝶定理的证明，已知OP⊥MN，求证PN=PM 解：辅助线：如（1）所述 ∵DQ∥MN，OP⊥MN ∴易证PD=PQ ∴∠PDQ=∠QPM 又∵∠CDQ+∠CBQ=180° ∴∠MPQ+∠NBQ=180° ∴P、N、B、Q四点共圆 ∴∠CBA=∠NQP=∠MDP ∵∠MPD=∠NPQ，PD=PQ，∠PDM=∠PQN ∴△PDM≌△PQN（ASA） ∴PM=PN 逆向证明——做对称三角形如图（3）圆内蝴蝶定理的逆向证明，已知PM=PN，求证P为EF中点 解：辅助线：做△PMD关于MN中垂线对称的△PNQ，连接DQ，BQ ∵△PMD与△PNQ对称 ∴△PMD≌△PNQ ∴∠ADC=∠PQN=∠ABC ∴P、N、B、Q四点共圆 ∴∠NPQ+∠NBQ=180° ∵PD=PQ，DQ∥MN ∴∠NPQ=∠CDQ ∴∠CDQ+∠CBQ=180° ∴Q在圆O上 ∴易证OP⊥DQ ∴OP⊥EF ∴P为EF中点 如图（4）圆外蝴蝶定理的逆向证明，已知PM=PN，求证PO⊥MN 解：辅助线：如（3）所述 ∵△PMD与△PNQ对称 ∴△PMD≌△PNQ ∴∠ADC=∠PQN=∠ABC ∴P、N、B、Q四点共圆 ∴∠MPQ+∠NBQ=180° ∵PD=PQ，DQ∥MN ∴∠MPQ=∠CDQ ∴∠CDQ+∠CBQ=180° ∴Q在圆O上 ∴易证OP⊥DQ ∴OP⊥MN 圆外蝴蝶定理的扩展如图，弦DC与BA延长交于圆外一点P，延长弦DB与AC，与过P点的OP的垂线分别交于N、M，求证PM=PN（正向证明） 解：辅助线：过D点做MN平行线，交圆O于Q，连接MQ，PQ，AQ ∵OP⊥MN，DQ∥MN ∴OP⊥DQ ∴PD=PQ ∴∠PDQ=∠QPN ∵∠PDQ+∠CAQ=180° ∴∠QPN+∠MAQ=180° ∴P、M、Q、A四点共圆 ∴∠MQP=∠MAP=∠NDP ∵∠QPM=∠DPN，PQ=PD，∠MQP=∠NDP ∴△MPQ≌△NPD（ASA） ∴PM=PN 如图，弦DC与BA延长交于圆外一点P，延长弦DB与AC，与过P点的直线分别交于N、M，若PM=PN，求证OP⊥MN（逆向证明） 解：辅助线：做△PDN关于MN中垂线对称的△PQM，连接DQ，AQ ∵△PDN与△PQM对称 ∴△PDN≌△PQM ∴∠PDB=∠PAC=∠MQP ∴P、M、Q、A四点共圆 ∴∠QPN+∠MAQ=180° ∵PD=PQ，DQ∥MN ∴∠QPN=∠PDQ ∴∠PDQ+∠CAQ=180° ∴Q在圆O上 ∴易证OP⊥DQ ∴OP⊥MN 圆外蝴蝶定理的应用如图，钝角△ABC，H为其垂心，O为其外心，连接CH，延长BA与CH交于D，过D做OD的垂线，与CA的延长线交于E，求证∠CAB=∠DHE 解：辅助线：做出△ABC的外接圆圆O，圆O与CH交于F，连接BH，连接BF并延长与ED延长线交于G ∵H为△ACB的垂心 ∴BA⊥CH，CA⊥BH ∴∠DBH=∠DCA=∠DBF ∵∠FDB=∠HDB，BD=BD，∠DBF=∠DBH ∴△DBF≌△DBH（ASA） ∴DF=DH ∵BF与CA的延长线交OD垂线于G、E ∴DG=DE（圆外蝴蝶定理） ∵DF=DH，∠FDG=∠HDE，DG=DE ∴△FDG≌△HDE（SAS） ∴∠GFD=∠CFB=∠CAB=∠DHE |
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