| 词条 | 余弦 |
| 释义 | 数学术语角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA（由余弦英文cosine简写得来），即cosA=角A的邻边/斜边（直角三角形）。 定理cos=x/r 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 即 在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以 c2=a2+b2 a 0` 30` 45` 60` 90` cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 （1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边； （3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。（见解三角形公式，推导过程略。） 判定定理一（两根判别法）： 若记m(c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取 减号的值 ①若m(c1,c2）=2，则有两解； ②若m(c1,c2）=1，则有一解； ③若m(c1,c2）=0，则有零解（即无解）。 注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。 判定定理二（角边判别法）： 一当a>bsinA时 ①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解； ②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）； ③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解； ④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）； ⑤当b<a时，则有一解 二当a=bsinA时 ①当cosA>0（即A为锐角）时，则有一解； ②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）； 三当a<bsinA时，则有零解（即无解） 性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质—— a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC cosC = (a^2 + b^2 - c^2） / （2·a·b) cosB = (a^2 + c^2 - b^2） / （2·a·c) cosA = (c^2 + b^2 - a^2） / （2·b·c) （物理力学方面的平行四边形定则中也会用到） 第一余弦定理（任意三角形射影定理） 设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。 证明方法平面向量证法∵如图，有a+b=c （平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） ∴c·c=(a+b）·（a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos（π-θ） （以上粗体字符表示向量） 又∵Cos（π-θ）=-CosC ∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 即 CosC=(a^2+b^2-c^2）/2*a*b 同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2）/2ab就是将CosC移到左边表示一下。 平面几何证法在任意△ABC中 做AB⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 b^2=(sinB^2+cosB^2）*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2）/2ac 相关图片余弦相关图片 |
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