一般地，如果变量x和y满足一个方程F（x，y)=0,在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这个方程的唯一的y值（不一定唯一，如x^2+y^2=1）存在，那么就说方程F（x，y）=0在该区间内确定了一个隐函数。

特点

求导法则

推理过程

隐函数的导数

特点

隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x^2+y^2=1。因此按照函数“设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量x按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).”的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。

其实总的说来，函数都是方程，但方程却不一定是函数。

求导法则

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）； 利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值； 把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'yF'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

推理过程

一个函数y=ƒ(x)，隐含在给定的方程

(1)中，作为这方程的一个解（函数）。例如

给出。

如果不限定函数连续，则式中正负号可以随x而变,因而有无穷个解；如果限定连续，则只有两个解（一个恒取正号,一个恒取负号）；如果限定可微，则要排除x=±1，因而函数的定义域应是开区间(-1<x<1)，但仍然有两个解;如果还限定在适合原方程的一个点(x,y)=( x0,y0)的邻近范围内，则只有一个惟一的解（当起点(x0,y0)在上半平面时取正号，在下半平面时取负号）。

微分学中主要考虑函数z=F(x，y)与y=ƒ(x)都连续可微的情形。这时可以利用复合函数的微分法对方程(1)直接进行微分：(2)

可见，即使在隐函数y=ƒ(x)难于解出的情形，也能够直接算出它的导数，惟

一的条件是(3)

隐函数理论的基本问题就是,在适合原方程(1)的一个点的邻近范围内，在函数F(x,y)连续可微的前提下，什么样的附加条件能使得原方程(1)确定一个惟一的函数y=ƒ(x)，不仅单值连续,而且连续可微，其导数由(2)完全确定。隐函数存在定理就在于断定(3)就是这样的一个条件，不仅必要，而且充分。

这个结果能够推广到方程组相当于(2)的微分式给出相当于(3)的条件

隐函数的导数

设方 程P(x, y)=0确定y是x的函数, 并且可导. 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数.

例1 方程 x2+y2-r 2=0确定了一个以x为自变量, 以y为因变量的数, 为了求y对x的导数, 将上式两边逐项对x求导, 并将y2看作x的复合函数, 则有

(x2)+ (y2)- (r 2)=0,

即 2x+2y =0,

于是得 .

从上例可以看到, 在等式两边逐项对自变量求导数, 即可得到一个包含y&cent;的一次方程, 解出y&cent;, 即为隐函数的导数.

例2 求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.

解: 将方程两边同时对x求导, 得

2y y&cent;=2p,

解出y&cent;即得

.

例3 求由方程y=x ln y所确定的隐函数y=f(x)的导数.

解: 将方程两边同时对x求导, 得

y&cent;=ln y+x× ×y&cent;,

解出y&cent;即得 .

例4 由方程x2+x y+y2=4确定y是x的函数, 求其曲线上点(2, -2)处的切线方程.

解: 将方程两边同时对x求导, 得

2x+y+x y&cent;+2y y&cent;=0,

解出y&cent;即得

.

所求切线的斜率为

k=y&cent;|x=2,y=-2=1,

于是所求切线为

y-(-2)=×(x-2), 即y=x-4.