循环单位的平方

循环单位兼质数

在趣味数学中，循环单位是由1组成的数如1, 11, 111, 1111等。

1966年，A.H. Beiler称这类数为repunit，表示repeated unit。

其中b是进位制的底。在这篇文章，循环单位都是指十进制中的。

循环单位还有一个规律，就是：如果要让一个循环单位能除进一个质数，那这个质数必须大于6，而且，“1”的个数要比那个质数少1。例如，111 111/7=15873、1 111 111 111/11=90909091，甚至还有111 111 111 111/13=8547008547等等；但1111/5、11/3、1/2却不能得到整数。

循环单位的平方

R1至Rb的循环单位，Rn的平方有一个很有趣的性质，它们都会得出由1到n的数字顺序组成的回文数。例如十进制中的：

1×1 = 1 11×11 = 121 111×111 = 12321 1111×1111 = 1234321 11111×11111 = 123454321 111111×111111 = 12345654321 1111111×1111111 = 1234567654321 11111111×11111111 = 123456787654321111111111×111111111=12345678987654321而上述原则于十进制，只在n<10的情况下才能生效，因为在n>9的情况下，Rn的平方已经不能组成回文数。例如：

11111111111×1111111111 = 1234567900987654321 111111111111×11111111111 = 123456790120987654321 1111111111111×111111111111 = 12345679012320987654321 11111111111111×1111111111111 = 1234567901234320987654321 111111111111111×11111111111111 = 123456790123454320987654321 1111111111111111×111111111111111 = 1234567901234565432098765432111111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321...虽然在9<n<19的情况下，Rn的平方不能组成回文数，却有着固定的结构：

如果，前缀：123456790，后缀：0987654321如果，前缀：123456790，中段：从1开始顺序数数，直至得出与9的差，再倒数至2，后缀：0987654321

循环单位兼质数

当n能被大于1的k整除时，Rk | Rn（例如111111111=111*1001001），因此若Rn是质数，n必须是质数。

现在已知n= 2,19,23,317,1031时，Rn是质数，而n= 49081, 86453的Rn则可能是伪素数。

号码n　年份　发现者

1　2　－　－

2　19　－　－

3　23　－　－

4　317　1978年　Williams, Dubner

5　1031　1986年　Dubner

6　49081 ?　1999年　Dubner

7　86453 ?　2000年　Baxter