人名

数学名词

人名

辛群，原名佟常明。辽宁沈阳人。中共党员。毕业于北京大学文学院哲学系。1948年参加革命工作，历任北京军管会文化接管委员会干部，北京市人民政府新闻处副科长，北京人民出版社编辑部副主任，北京市人委新闻出版处副科长，北京市文化局副科长，北京市出版局及文化局副科长、处长、副主任，北京市出版局处长、党总支书记，《北京文学》编辑部主任，副主编。中国作家协会北京分会分党组成员，原北京市文联党组成员、书记处书记、理事。1945年开始发表作品。1982年加入中国作家协会。

数学名词

在数学中，辛群可以指涉两类不同但关系密切的群。在本条目中，我们分别称之为 Sp(2n,F) 与 Sp(n)。后者有时也被称作紧致辛群以资区别。许多作者偏好不同的记法，通常是差个二的倍数。本条目采用的记法与矩阵的大小相称。

Sp(2n, F)域 F 上次数为 2n 的辛群是由 2n 阶辛矩阵在矩阵乘法下构成的群，记为 Sp(2n,F)。由于辛矩阵之行列式恒等于一，此群是 SL(2n,F) 的子群。

抽象而言，辛群可定义为 F 上一个 2n 维矢量空间上保存一个非退化、斜对称双线性形的所有可逆线性变换。带有这种双线性形的矢量空间称为辛矢量空间。一个辛矢量空间 V 产生的辛群记为 Sp(V)。

当 n=1，有 Sp(2,F)=SL(2,F)，当 n>1 时，Sp(2n,F) 是 SL(2n,F) 的真子群。

通常将域 F 取为实数域R 、复数域 C或非阿基米德局部域，如p进数域 Qp。此时辛群 Sp(2n,F) 是维度等于 n(2n+ 1)的连通代数群。Sp(2n,c)是单连通的，而 Sp(2n,R)的基本群则同构于Z。

Sp(2n,F)的李代数可以刻划为满足下列条件的 2n 阶方阵 A：

ΩA+ AΩ = 0其中 A表示 A的转置矩阵，而 Ω是下述反对称矩阵Ω(0,In

-In,0)

Sp(n)

紧辛群 Sp(n)定义为 H（H表四元数）上保持标准埃尔米特形式

之可逆线性变换。换言之，Sp(n)即四元数上的酉群 U(n,H)。有时此群也被称为超酉群。Sp(1)即单位四元数构成之群，拓朴上同胚于三维球S^3 。

Sp(n)并不同构于之前定义的 Sp(2n,R)。下节将解释其间的联系。

Sp(n)是 n(2n+ 1)维之紧致、连通、单连通实李群，并满足

其李氏代数由满足下述关系的 n 阶四元数矩阵构成

其中 是 A的共轭转置（在此取四元数之共轭运算）。李括积由矩阵之交换子给出。

辛群之间的关系

以上定义之Sp(2n,R) 与 Sp(n)之李代数在复化后给出相同的单李代数。此李代数记作 Cn。此李代数也就是复李群 Sp(2n,C)之李代数，记作Sp(2n,C) 。它有两个不同的实形式：

紧致形式 sp(n)，即 Sp(n)之李代数。

正规形式Sp(2n,R) ，即Sp(2n,R) 。